logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Równania i nierówności, zadanie nr 71

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

roger
postów: 4
2010-04-15 12:05:23

Dla jakich wartości parametru m różnica pierwiastków równania (m-2)x^2 - (m-4)x - 2 = 0 wynosi 3?


zorro
postów: 106
2010-04-17 08:19:49

$a=m-2$
$b=-(m-4)=(4-m)$
$c=-2$

Warunki rozwiązania:
1. $a\neq0 \iff m\neq2$
2. $\Delta>0$
$b^{2}-4ac>0$
$(4-m)^{2}-4(m-2)(-2)=16-8m+m^{2}+8m-16>0$
$m^{2}>0 \iff m\neq0$

Rozwiązanie:
W treści zadania jest mowa tylko o różnicy pierwiastków. Ponieważ nie jest sprecyzowane czy chodzi o $x_{1}-x_{2}$ czy $x_{1}-x_{2}$, musimy rozważyć obie możliwości najlepiej posługując się bezwzględną wartością:
$|x_{1}-x_{2}|=3$
Wiadomo,że
$|x_{1}-x_{2}|=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}}$
Jednocześnie
$(x_{1}-x_{2})^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2x_{1}x_{2}-4x_{1}x_{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}$
Podstawiając wzory Vietty w miejsce sumy i iloczynu otrzymamy
$(x_{1}-x_{2})^{2}=(\frac{-b}{a})^{2}-4\frac{c}{a}=\frac{b^{2}}{a^{2}}-\frac{4ac}{a^{2}}=\frac{\Delta}{a^{2}}$
Więc
$|x_{1}-x_{2}|=\frac{\sqrt{\Delta}}{\sqrt{a^{2}}}=\frac{\sqrt{m^{2}}}{\sqrt{(m-2)^{2}}}=\frac{|m|}{|m-2|}=3$

$|m|-3|m-2|=0$

Rozpatrujemy 3 przypadki:
1. m<0
2. 0<m<2
3. m>2

1. Gdy $m$ i $m-2$ są jednocześnie ujemne:
$-m-3[-(m-2)]=0$
$-m+3(m-2)=0$
$-m+3m-6=0$
$2m=6$
$m=3$ odrzucamy bo rozwiązanie nie leży w rozpatrywanym przedziale (m<0)

2. Gdy $m$ jest dodatnie, ale $m-2$ ujemne:
$m-3[-(m-2)]=0$
$m+3(m-2)=0$
$4m=6$
$m=\frac{3}{2}$
Rozwiązanie to jest poprawne. Wówczas będzie
$x_{1}=-1$
$x_{2}=-4$
co daje różnicę: $x_{1}-x_{2}= -1-(-4)=3$

3. Gdy $m$ i $m-2$ są jednocześnie dodatnie:
$m-3(m-2)=0$
$m-3m+6=0$
$-2m=-6$
$m=3$
Rozwiązanie to też jest poprawne. Wówczas będzie
$x_{1}=-1$
$x_{2}=2$
co daje różnicę: $x_{2}-x_{1}= 2-(-1)=3$

Odp:
Równanie ma dwa pierwiastki, których różnica wymosi 3 dla
$m=\frac{3}{2}$ lub
$m=3$.



strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 75 drukuj