logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Liczby rzeczywiste, zadanie nr 726

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

zuzaa94
postów: 12
2011-03-29 21:01:35

Liczby całkowite dodatnie a, b, c, d, e spełniają równości
a+b=c+d+e
a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2}+e^{2}

Wykazać, że przynajmniej jedna z liczb a, b jest złożona.


irena
postów: 2636
2011-03-29 21:23:55

a+b=c+d+e
$a^2+b^2=d^2+e^2-c^2$
$(a+b)^2=(c+d+e)^$
$a^2+b^2+2ab=c^2+d^2+e^2+2cd+2ce+2de$
$d^2+e^2-c^2+2ab=c^2+d^2+e^2+2cd+2ce+2de$
$2ab=2c^2+2cd+2ce+2de$
$ab=c^2+cd+ce+de$
$ab=c(c+d)+e(c+d)$
$ab=(c+d)(c+e)$

Liczby są dodatnie, więc żadna z sum po prawej stronie nie jest równa 0 ani 1. Jeśli a i b to liczby pierwsze, to $c+d=a\wedge c+e=b$
$c+d+c+e=c+d+e$
$c=0$
Sprzeczność.
Zatem- nie może być tak, że obie liczby są liczbami pierwszymi. Co najmniej jedna z nich musi być liczbą złożoną.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj