logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Liczby rzeczywiste, zadanie nr 819

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

Aneta
postów: 1255
2011-06-02 21:37:16

uzasadnij że iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych dzieli się przez 6 lub przy dzieleniu przez 18 daje reszte 2?
rozwiąż 3 przypadki :
Przyp. a: jedna z liczb dzieli się przez 3
Ponieważ to są dwie kolejne, więc dodatkowo jedna z nich jest parzysta,
Zachodzi więc podzielność tego iloczynu przez 6

Przyp. b.:obie są niepodzielne przez 3. Oczywiście n(n+1) jest podzielne przez 2 (jedna z liczb n i n+1 musi być parzysta), więc pierwszy składnik dzieli się przez 9 i przez 2, czyli przez 18. Pozostaje - jako reszta - drugi składnik, czyli 2


irena
postów: 2636
2011-06-02 21:46:10

a)
Przypadek- jedna z liczb dzieli się przez 3.
Wśród dwóch kolejnych liczb naturalnych jedna musi być parzysta. Iloczyn tych liczb musi dzielić się przez $2\cdot3=6$.

b)
Przypadek- żadna z liczb nie dzieli się przez 3. Wtedy te liczby są postaci:
n=3k+1
n+1=3k+2
gdzie k jest liczbą naturalną
Iloczyn tych liczb:
$n(n+1)=(3k+1)(3k+2)=9k^2+6k+3k+2=9k^2+9k+2=9k(k+1)+2$
k(k+1) to iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych. Wśród nich musi być jedna liczba parzysta, więc iloczyn 9k(k+1) dzieli się przez 18.
Więc liczba 9k(k+1)+2 daje w dzieleniu przez 18 resztę równą 2.


Aneta
postów: 1255
2011-06-02 21:52:15

a przypadek a?
a1) 3n(3n+1)
a2) (3n+2)(3n+3) czy może być cos takiego? i jak doprowadzić ?


Aneta
postów: 1255
2011-06-02 21:56:35

???


irena
postów: 2636
2011-06-02 22:06:47

W przypadku a) nie trzeba rozpisywać:
- jeśli masz 2 kolejne liczby naturalne, to jedna z nich jest parzysta, czyli iloczyn jest też parzysty
- jeśli jedna z nich dzieli się przez 3, to iloczyn też dzieli się przez 3.
Jeśli iloczyn liczb jest parzysty i dzieli się przez 3, to dzieli się przez 6.
W tym przypadku spełniony jest pierwszy warunek- iloczyn dzieli się przez 6.

W przypadku b)
- jeśli żadna z liczb nie dzieli się przez 3, to mniejsza z liczb daje w dzieleniu przez 3 resztę 1, a większa resztę 2.
W tym przypadku iloczyn daje w dzieleniu przez 18 resztę równą 2 i spełniony jest drugi warunek.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj