logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Planimetria, zadanie nr 86

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

zawisza1991
postów: 2
2010-04-23 20:24:15

1.Narysuj okrąg:
x^2 + y^2 - 8x - 6y - 4 = 0
Chodzi mi tylko o wyliczenie danych (a, b, r), tzn. bez rysunku.

2.Na okręgu o promieniu 4 opisano prostokątny trójkąt równoramienny. Oblicz pole tego trójkąta.

3.Ile punktów wspólnych ma prosta x-y=0 z okręgiem (x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 16

(Gdzie "^" to do potęgi)

Mógłby mi ktoś pomóc w rozwiązaniu tych zadań z omówieniem co jest wykonywane?
Czy jest jakaś uniwersalna metoda na rozwiązywaniu tego typu zadań? Jeśli tak, to gdzie się więcej, na ten temat dowiem.


zorro
postów: 106
2010-04-24 07:42:50

1. Zacznijmy od okręgu.
Równanie ogólne okręgu to: $x^{2}+y^{2}-2ax-2ay+c=0$
$a,b$ to współrzędne środka, zaś $c=a^{2}+b^{2}-r^{2}$
W zadaniu mamy:
$-2a=-8 \Rightarrow a=4$
$-2b=-6 \Rightarrow b=3$
$c=-4 \Rightarrow a^{2}+b^{2}-r^{2}=-4$
$4^{2}+3^{2}-r^{2}=-4$
$r^{2}=29 \Rightarrow r=\sqrt{29}\approx5.39$
Trzeba więc narysować okrąg o środku (4,3) i promieniu $\sqrt{29}$, czyli nieco mniej niż 5.4.

(Gdybym ja układał to zadanie byłoby to równanie
$x^{2}+y^{2}-8x-6y-24=0$
wówczas promień wychodzi 7.)


zorro
postów: 106
2010-04-24 08:25:25

2. Spróbujmy bez rysunku, choć trudniej będzie wyjaśnić.
Trójkąt prostokątny, równoramienny to po prostu przecięty po skosie kwadrat. Okrąg o promieniu 4 jest w środku i styka się z bokami tego trójkąta. Aby znaleźć pole możemy obliczyć długość podstawy i wysokość trójkąta.
Wysokość trójkąta poprowadzona z przeciwprostokątnej przechodzi przez środek okręgu. Odległość od przeciwprostokątnej do środka okręgu to promień $r$, zaś odległość od środka okręgu do wierzchołka leżącego naprzeciwko przeciwprostokątnej to $\sqrt{2}r$ (przekątna małego kwadratu o boku r i rogu w środku okręgu.
Więc wysokość trójkąta h wynosi:
$h=r+\sqrt{2}r=(\sqrt{2}+1)r$
Ponieważ trójkąt jest równoramienny o kącie ostrym równym $45^{\circ}$ to podstawa będzie 2x większa od wysokości:
$c=2\cdot(\sqrt{2}+1)r$
Pole:
$P=\frac{1}{2}c\cdoth = \frac{1}{2}2(\sqrt{2}+1)r\cdot(\sqrt{2}+1)r=(1+\sqrt{2})^{2}\cdotr^{2}=(3+2\sqrt{2})r^{2}$
Pozostaje podstawić 4 za promień:
$P=(2\sqrt{2}+3)4^{2}=16(3+2\sqrt{2})$


zorro
postów: 106
2010-04-24 08:57:01

3. Rozwiązujemy układ równań
$\left\{\begin{matrix} x-y=0 \\ (x-2)^{2}+(y-4)^{2}=16 \end{matrix}\right.$
Z pierwszego mamy $y=x$. Wstawiamy x do drugiego w miejsce y.
$(x-2)^{2}+(x-4)^{2}=16 $
$x^{2}-4x+4+x^{2}-8x+16=16$
$2x^{2}-12x+4=0$
$x^{2}-6x+2=0$
$\Delta=(-6)^{2}-4\cdot2=36-8=28$
Już teraz możemy odpowiedzieć, że są dwa punkty wspólne, bo $\Delta\gt0$.
Szukając konkretnych wartości liczymy dalej:
$\sqrt{\Delta}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$
$x_{1}=\frac{6-2\sqrt{7}}{2}=3-\sqrt{7}$
$x_{2}=\frac{6+2\sqrt{7}}{2}=3+\sqrt{7}$
Z kolei podstawiając te rozwiązania do równania prostej y=x znajdujemy odpowiadające im $y_{1} i y_{2}$
$y=x$
$y_{1}=x_{1}=3-\sqrt{7}$
$y_{2}=x_{2}=3+\sqrt{7}$
Punkty przecięcia to:
$(x_{1},y_{1})=(3-\sqrt{7},3-\sqrt{7})$ oraz
$(x_{2},y_{2})=(3+\sqrt{7},3+\sqrt{7})$

Generalnie w zadaniach tego typu chodzi o znajomość wzorów. Trzeba wyryć na pamięć równanie okręgu, wzory na obliczanie trójkątów, promień okręgu opisanego i wpisanego, równanie drugiego stopnia itp.
W zadaniu 3 zawsze rozwiązujemy układ równań przez sprowadzenie do równania z jedną niewiadomą. Stopień równania określa max. możliwą ilość rozwiązań (punktów przecięcia). Dla równania kwadratowego mogą być 2 rozwiązania($\Delta>0$), 1 rozwiązanie ($\Delta=0$) lub brak rozwiązań $\Delta<0$).



zawisza1991
postów: 2
2010-04-24 18:55:28

Dzięki bardzo!

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 44 drukuj