Planimetria, zadanie nr 86
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
zawisza1991 post贸w: 2 |  2010-04-23 20:24:151.Narysuj okr膮g: x^2 + y^2 - 8x - 6y - 4 = 0 Chodzi mi tylko o wyliczenie danych (a, b, r), tzn. bez rysunku. 2.Na okr臋gu o promieniu 4 opisano prostok膮tny tr贸jk膮t r贸wnoramienny. Oblicz pole tego tr贸jk膮ta. 3.Ile punkt贸w wsp贸lnych ma prosta x-y=0 z okr臋giem (x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 16 (Gdzie \"^\" to do pot臋gi) M贸g艂by mi kto艣 pom贸c w rozwi膮zaniu tych zada艅 z om贸wieniem co jest wykonywane? Czy jest jaka艣 uniwersalna metoda na rozwi膮zywaniu tego typu zada艅? Je艣li tak, to gdzie si臋 wi臋cej, na ten temat dowiem. |
zorro post贸w: 106 | 2010-04-24 07:42:50 1. Zacznijmy od okr臋gu. R贸wnanie og贸lne okr臋gu to: $x^{2}+y^{2}-2ax-2ay+c=0$ $a,b$ to wsp贸艂rz臋dne 艣rodka, za艣 $c=a^{2}+b^{2}-r^{2}$ W zadaniu mamy: $-2a=-8 \Rightarrow a=4$ $-2b=-6 \Rightarrow b=3$ $c=-4 \Rightarrow a^{2}+b^{2}-r^{2}=-4$ $4^{2}+3^{2}-r^{2}=-4$ $r^{2}=29 \Rightarrow r=\sqrt{29}\approx5.39$ Trzeba wi臋c narysowa膰 okr膮g o 艣rodku (4,3) i promieniu $\sqrt{29}$, czyli nieco mniej ni偶 5.4. (Gdybym ja uk艂ada艂 to zadanie by艂oby to r贸wnanie $x^{2}+y^{2}-8x-6y-24=0$ w贸wczas promie艅 wychodzi 7.) |
zorro post贸w: 106 | 2010-04-24 08:25:25 2. Spr贸bujmy bez rysunku, cho膰 trudniej b臋dzie wyja艣ni膰. Tr贸jk膮t prostok膮tny, r贸wnoramienny to po prostu przeci臋ty po skosie kwadrat. Okr膮g o promieniu 4 jest w 艣rodku i styka si臋 z bokami tego tr贸jk膮ta. Aby znale藕膰 pole mo偶emy obliczy膰 d艂ugo艣膰 podstawy i wysoko艣膰 tr贸jk膮ta. Wysoko艣膰 tr贸jk膮ta poprowadzona z przeciwprostok膮tnej przechodzi przez 艣rodek okr臋gu. Odleg艂o艣膰 od przeciwprostok膮tnej do 艣rodka okr臋gu to promie艅 $r$, za艣 odleg艂o艣膰 od 艣rodka okr臋gu do wierzcho艂ka le偶膮cego naprzeciwko przeciwprostok膮tnej to $\sqrt{2}r$ (przek膮tna ma艂ego kwadratu o boku r i rogu w 艣rodku okr臋gu. Wi臋c wysoko艣膰 tr贸jk膮ta h wynosi: $h=r+\sqrt{2}r=(\sqrt{2}+1)r$ Poniewa偶 tr贸jk膮t jest r贸wnoramienny o k膮cie ostrym r贸wnym $45^{\circ}$ to podstawa b臋dzie 2x wi臋ksza od wysoko艣ci: $c=2\cdot(\sqrt{2}+1)r$ Pole: $P=\frac{1}{2}c\cdoth = \frac{1}{2}2(\sqrt{2}+1)r\cdot(\sqrt{2}+1)r=(1+\sqrt{2})^{2}\cdotr^{2}=(3+2\sqrt{2})r^{2}$ Pozostaje podstawi膰 4 za promie艅: $P=(2\sqrt{2}+3)4^{2}=16(3+2\sqrt{2})$ |
zorro post贸w: 106 | 2010-04-24 08:57:01 3. Rozwi膮zujemy uk艂ad r贸wna艅 $\left\{\begin{matrix} x-y=0 \\ (x-2)^{2}+(y-4)^{2}=16 \end{array}\right$ Z pierwszego mamy $y=x$. Wstawiamy x do drugiego w miejsce y. $(x-2)^{2}+(x-4)^{2}=16 $ $x^{2}-4x+4+x^{2}-8x+16=16$ $2x^{2}-12x+4=0$ $x^{2}-6x+2=0$ $\Delta=(-6)^{2}-4\cdot2=36-8=28$ Ju偶 teraz mo偶emy odpowiedzie膰, 偶e s膮 dwa punkty wsp贸lne, bo $\Delta\gt0$. Szukaj膮c konkretnych warto艣ci liczymy dalej: $\sqrt{\Delta}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$ $x_{1}=\frac{6-2\sqrt{7}}{2}=3-\sqrt{7}$ $x_{2}=\frac{6+2\sqrt{7}}{2}=3+\sqrt{7}$ Z kolei podstawiaj膮c te rozwi膮zania do r贸wnania prostej y=x znajdujemy odpowiadaj膮ce im $y_{1} i y_{2}$ $y=x$ $y_{1}=x_{1}=3-\sqrt{7}$ $y_{2}=x_{2}=3+\sqrt{7}$ Punkty przeci臋cia to: $(x_{1},y_{1})=(3-\sqrt{7},3-\sqrt{7})$ oraz $(x_{2},y_{2})=(3+\sqrt{7},3+\sqrt{7})$ Generalnie w zadaniach tego typu chodzi o znajomo艣膰 wzor贸w. Trzeba wyry膰 na pami臋膰 r贸wnanie okr臋gu, wzory na obliczanie tr贸jk膮t贸w, promie艅 okr臋gu opisanego i wpisanego, r贸wnanie drugiego stopnia itp. W zadaniu 3 zawsze rozwi膮zujemy uk艂ad r贸wna艅 przez sprowadzenie do r贸wnania z jedn膮 niewiadom膮. Stopie艅 r贸wnania okre艣la max. mo偶liw膮 ilo艣膰 rozwi膮za艅 (punkt贸w przeci臋cia). Dla r贸wnania kwadratowego mog膮 by膰 2 rozwi膮zania($\Delta>0$), 1 rozwi膮zanie ($\Delta=0$) lub brak rozwi膮za艅 $\Delta<0$). |
zawisza1991 post贸w: 2 | 2010-04-24 18:55:28 Dzi臋ki bardzo! |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj