logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Trygonometria, zadanie nr 90

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

elaoela
postów: 2
2010-05-04 18:49:55

sin2x < -1/2 i x nalezy do <0, 2 pi > pomoze ktos ? :p


zorro
postów: 106
2010-05-06 06:31:03

Przyjmijmy pomocniczą niewiadomą
$\alpha=2x$
$\alpha$ jest 2 razy większe od x więc $\alpha\in<0,4\pi>$
Mamy nierówność $\sin\alpha<-\frac{1}{2}$
Rysujemy wykres sinusa w przedziale od 0 do $4\pi$
Będą to 2 pełne okresy sinusoidy.
Teraz rysujemy linię poziomą $y=-\frac{1}{2}$
Linia ta przetnie ten wykres w 4 punktach. Aby znaleźć odpowiadające tym punktom kąty $\alpha$rozwiązujemy równanie
$\sin\alpha=-\frac{1}{2}$
$\sin\alpha=-sin(\frac{\pi}{6})$
$\sin\alpha=sin(-\frac{\pi}{6})$
więc
$\alpha=-\frac{\pi}{6}+2k\pi$ lub
$\alpha=\pi-(-\frac{\pi}{6})+2k\pi=\frac{7}{6}\pi+2k\pi$
podstawiamy kolejno k=0,1,2
Dla k=0
$\alpha_{0}=-\frac{\pi}{6} \notin <0,4\pi>$ - odrzucamy
lub $\alpha_{1}=\frac{7}{6}\pi$
Dla k=1
$\alpha_{2}=-\frac{\pi}{6}+2\pi=\frac{11}{6}\pi$
lub $\alpha_{3}=\frac{7}{6}\pi+2\pi=\frac{19}{6}\pi$
Dla k=2
$\alpha_{4}=-\frac{\pi}{6}+4\pi=\frac{23}{6}\pi$
lub $\alpha_{5}=\frac{7}{6}\pi+4\pi > 4\pi$ - odrzucamy
Wszystkie inne rozwiązania nie leżą w rozpatrywanym przedziale
Teraz z wykresu widać, że jego część jest poniżej linii $-\frac{1}{2}$ dla
$\alpha\in(\frac{7}{6}\pi,\frac{11}{6}\pi)\cup(\frac{19}{6}\pi,\frac{23}{6}\pi)$
Teraz wracamy do niewiadomej x
$x=\frac{\alpha}{2}$
więc dzieląc obliczone wartości przez 2 otrzymamy
$x\in(\frac{7}{12}\pi,\frac{11}{12}\pi)\cup(\frac{19}{12}\pi,\frac{23}{12}\pi)$.

Wiadomość była modyfikowana 2010-05-08 20:36:45 przez zorro
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 56 drukuj