logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Liczby rzeczywiste, zadanie nr 954

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

lazy2394
postów: 50
2011-11-06 16:52:06

Liczby k i n są nieparzyste i każda z nich ma tylko trzy dzielniki. Uzasadnij, że różnica tych liczb jest podzielna przez 4.

Ja to bym zaczął tak 2k\pm1 i 2n\pm1 ale nie mam pojęcia jak się zabrać do tego dalej


Szymon
postów: 657
2011-11-06 17:04:19

Jeżeli liczba ma 3 dzielniki to jest to kwadrat jakiejś liczby naturalnej.

Pierwiastek kwadratowy z liczby nieparzystej jest liczbą nieparzystą.

$k = l^2$
$n = m^2$

$l^2 - m^2 = (l+n)(l-n)$

Liczby l i n są nieparzyste więc ich suma oraz różnica są parzyste.

(l+n)(l-n) = (2p)(2s) = 4ps - ta liczba jest podzielna przez 4.




Wiadomość była modyfikowana 2011-11-06 17:50:54 przez Szymon

lazy2394
postów: 50
2011-11-06 17:56:17

A jeszcze jedno pytanie bo dalej nie rozumiem skąd wiemu że liczby l i m mają tylko 3 dzielniki??

(l+n)(l-n) = (2p)(2s) = 4ps i tutaj co to jest p i s??


Szymon
postów: 657
2011-11-06 18:33:24

To że liczby l i m mają tylko 3 dzielniki to jest podane w treści zadania.

l+n = 2p

liczby l i m są nieparzyste więc ich suma jest parzysta. Każda liczba parzysta jest podzielna przez 2 dlatego taki zapis 2p gdzie p jest ilorazem sumy l i n przez 2.

l-n = 2s

liczby l i m są nieparzyste więc ich różnica jest parzysta. Każda liczba parzysta jest podzielna przez 2 dlatego taki zapis 2s gdzie s jest ilorazem różnicy l i n przez 2.


Wiadomość była modyfikowana 2011-11-06 19:24:01 przez Szymon

irena
postów: 2636
2011-11-06 19:01:33

Jeśli liczba ma dokładnie 3 dzielniki, to ta liczba jest kwadratem liczby pierwszej. Masz tu więc do czynienia z różnicą kwadratów dwóch nieparzystych liczb pierwszych.


Mariusz Śliwiński
postów: 489
2011-11-06 19:05:56

Szymon: popraw n na m.

//------------------------
Tylko kwadraty liczb pierwszych mają 3 dzielniki.

W treści zadania mamy k i n nieparzyste zatem $k=(2l+1)^2$, $n=(2m+1)^2$, gdzie $l, m\inN$
oraz liczby $2l+1$, $2m+1$ są pierwsze

Wówczas:
$ k - n = (2l+1)^2 - (2m+1)^2 = (4l^2 + 4l + 1) - (4m^2 + 4m + 1) = 4(l^2 + l - m^2 - m)$

Liczba $l^2 + l - m^2 - m$ jest liczbą całkowitą, zatem różnica k - n jest podzielna przez 4.


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj