Powierzchnia dywanów Sierpińskiego

Autor	Wiadomość
nobody postów: 3	2013-10-17 12:00:22 Witam . Z matematyką miałem do czynienia b. dawno . Ponieważ nie wiem gdzie mógłbym zadać poniższe pytanie a los skierował mnie tu .Więc jestem i pytam ; Mamy dywan Sierpińskiego interesuje mnie obliczenie powierzchni zamalowanej i tej pustej . 1 ) jak policzyć ? 2) czy są tu jakieś proporcje ? (zamalowanej do tej niezamalowanej 3) a może ma tu duże znaczenie ilość ilość iteracji (czytaj podziałów )? Jako odniesienie weźmy rysunek wklejony przez kolegę andrz_001 na stronie http://www.forum.math.edu.pl/temat,matematyka,52,0 Będę wdzięczny za każdą odpowiedź "jak nie matematykowi " czyli powszeche zrozumiałym językiem . Pozdrawiam

nobody postów: 3	2013-10-17 12:04:09 ERRATA 1 ) jak policzyć ? powinno być 1) jak policzyć te powierzchnie ?

tumor postów: 8070	2013-10-20 17:45:34 Pomyśl o iteracjach. Załóżmy, że wyjściowy kwadrat ma bok $a$, czyli pole $a^2$. W pierwszym kroku usuwamy $1/9$ pola, czyli zostaje $(8/9)a^2$. W drugim kroku usuwamy $1/9$ tego, co mieliśmy po pierwszym kroku (bo z każdego kwadratu usuwamy jego $1/9$), zatem zostaje $(8/9)^2a^2$. Podobnie po trzecim kroku zostanie $8/9$ z powyższego, czyli $(8/9)^3a^2$, a po $n$-tym kroku $(8/9)^na^2$. Zauważ, że wyrażenie $(8/9)^n$ wraz ze wzrostem $n$ zbliża się do $0$ (to znaczy, że będzie TAK BLISKO $0$ jak chcemy, o ile tylko liczba $n$, czyli liczba kroków, będzie dostatecznie duża). Wyjściowe pole $a^2$ nie ma tu znaczenia, im więcej iteracji, tym bardziej maleje pole dywanu. Intuicyjnie: zmaleje po którymś kroku tak bardzo, jak tylko chcemy, dowolnie blisko $0$. Bardziej formalnie mówilibyśmy o granicy w nieskończoności, pole dywanu ostatecznie wynosi $0$. ---- A przypadku choinki, czyli trójkąta Sierpińskiego, w każdym kroku zostaje $3/4$ tego, co mieliśmy krok wcześniej, czyli podobnie pole jest zerowe. ---- Z drugiej strony możemy liczyć pole, które wycinamy z wyjściowego pola $a^2$ i pokażemy, że wytniemy również $a^2$, czyli zostanie pole zerowe. W kolejnych krokach wycinamy $\frac{1}{9}a^2$, $\frac{8}{9^2}a^2$, $\frac{8^2}{9^3}a^2$, $\frac{8^3}{9^4}a^2$, i tak dalej. Zauważamy, że kolejne wycięte pola stanowią $\frac{8}{9} $ poprzednich, czyli zadziała znany z gimnazjum wzór na sumę wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego $S=b_1\frac{1}{1-q}$, gdzie $b_1$ jest pierwszym wyrazem ciągu, a $q$ jego ilorazem. $S=\frac{1}{9}a^2\frac{1}{1-\frac{8}{9}}=\frac{1}{9}a^2*9=a^2$, czyli rzeczywiście pola wyciętych kwadratów sumują się do pola kwadratu wyjściowego. 1) jak policzyć pokazałem na dwa sposoby, jak niematematykowi 2) część zamalowana ma powierzchnię $0$, niezamalowana ma powierzchnię równą wyjściowej figurze, czyli $a^2$. Możemy powiedzieć, że pole części wyciętej jest nieskończenie razy większe, ale to nie niesie jakiejś szczególnej treści. 3) dywan Sierpińskiego polega na tym, że ma tyle iteracji, ile jest liczb naturalnych. Nie mniej. Można policzyć pola w konkretnym kroku, zresztą wyżej napisałem. Można zatem policzyć stosunek pól, w przypadku skończonej ilości iteracji jest to sensowne.

nobody postów: 3	2013-10-20 18:07:15 Tumor dziękuję bardzo za wyjaśnienie .Wytłumaczyłeś tak że nawet nie matematyk to zrozumiał .To jest b. cenna umiejętność . Swoją droga to nie mogę się nadziwić w jakich obszarach może błądzić myśl ludzka . Pozdrawiam nobody

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj