logowanie

Problem z pochodnymi

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

Autor	Wiadomość
kaszanba postĂłw: 1	2014-04-04 20:03:29 Jakiś czas temu wkroczyłem w fascynujÄ cy świat pochodnych. Trudne do liczenia to to nie jest, więc jakoś dałem sobie radę. Jednak to, Ĺźe umiem coś zrobić, nie oznacza jeszcze Ĺźe rozumiem co właściwie robię. A mimo Ĺźe zrozumieć się starałem, me starania spełzły na niczym. A chodzi mi o to: pochodna to w uproszczeniu, szybkość przyrostu jakiejś funkcji w nieskończenie małym punkcie. No i właśnie, ten maciupki, nieskończenie mały \"cóś\" stanowi nieprzekraczalnÄ , monumentalnÄ barierę od ktĂłrej odbija się mĂłj umysł, jak piłeczka pingpongowa od ośmio-metrowej, ołowianej ściany. Jak rozumiem, wyniki pochodnej sÄ dokładne, Ĺźadne tam przybliĹźenia. A skoro tak, to niby jak z czegoś, czego nie da się dokładnie określić, a czym z caĹ‚Ä pewnościÄ jest nieskończenie mały punkt, moĹźna otrzymać dokładny wynik? WyobraĹşni mi nie starcza. Znalazła by się moĹźe jakaś oświecona osoba, ktĂłra by mi to jakoś łopatologicznie wyłoĹźyła?
maciek1988 postĂłw: 3	2014-04-13 21:19:35 No cóş, nie jestem matematykiem, co więcej wykształcenie mam humanistyczne, ale moĹźe się wypowiem :) Ja to rozumiem tak: jak coś moĹźe być nieskończenie małe? Pomyślmy. Jaka jest liczba pomiędzy 1, a 2? Na przykład 1.5, prawda? A pomiędzy 1.01, a 1.02? Na przykład 1.015, prawda? A pomiędzy 1.0000...1 a 1.0000...2? Na przykład 1.0000...15 :) Nieskończenie małe = tak małe, Ĺźe aĹź nie da się znaleźć czegoś mniejszego. Tyle, Ĺźe istnieje nieskończoność, więc zawsze moĹźna znaleźć coś mniejszego :) Niby paradoks. Ale nieskończenie mały punkt moĹźemy rozumieć jako nieskończenie maĹ‚Ä (czyli jakÄ kolwiek!) zmianę. \"Nieskończenie mały punkt\", czyli po prostu oddzielny. Trudno to zrozumieć, mi teĹź, ale pomyślałem o Twoim poście i to, co do tej pory wymyśliłem napisałem tutaj :) MoĹźe razem do czegoś dojdziemy, a moĹźe jakiś zawodowy matematyk nam obu to wyjaśni :)
tumor postĂłw: 8070	2014-04-13 21:52:45 Czytałem sobie niedawno Fichtenholza, podręcznik świetny, ale gdy autorzy wychwalajÄ udział radzieckich naukowcĂłw w badaniach nad nieskończenie małymi, trzeba zachować dystans. Iloraz róşnicowy $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ jest ułamkiem zrozumiałym, dla pewnych argumentĂłw $x,x_0$ funkcja wyznacza dwa punkty, a ułamek to tangens nachylenia prostej przechodzÄ cej przez te punkty do osi $ox$. IstniejÄ funkcje, w ktĂłrych gdy zmniejszamy róşnicę między $x$ a $x_0$, iloraz zachowuje się nieregularnie, nie stwierdzamy szczegĂłlnych prawidłowości. SÄ natomiast takie funkcje, gdzie w miarę, jak odległość między $x$ i $x_0$ maleje, iloraz róşnicowy zbliĹźa się do pewnej szczegĂłlnej wartości. Ściślej mĂłwiÄ c, moĹźna policzyć graniczny iloraz róşnicowy, czyli $\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ PowtĂłrzę, zaleĹźnie od funkcji granica ta istnieje lub nie. (Pewien śliczny wynik matematyczny mĂłwi, Ĺźe w pewnym sensie dla \"większości\" funkcji granica ta nie istnieje). Rachunek \"nieskończenie małych\" przydaje się, by pewne wahania oszacować jako niezagraĹźajÄ ce ciekawym regularnościom. Natomiast nie przywiÄ zywałbym się do tego określenia, jakby istniała jakaś konkretnie nieskończenie mała liczba. Proponuję traktować pochodnÄ raczej w sensie procesu: co by się działo z ilorazem róşnicowym (jako Ĺźe chodzi o tangens, moĹźemy pytać: co dzieje się z nachyleniem funkcji), gdybyśmy wybierali $x$ coraz bliĹźsze ustalonemu $x_0$. Czy jakaś regularność się pojawi czy nie. ---- Przykład. WeĹşmy funkcję $f(x)=\left\{\begin{matrix} x \mbox{ dla x wymiernych} \\ -x \mbox{ dla x niewymiernych} \end{matrix}\right.$ I weĹşmy $x_0=0$, wtedy $f(x_0)=0$ Iloraz róşnicowy przyjmuje postać $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{f(x)}{x}$ i pomyślmy, co się dzieje z tym ilorazem róşnicowym, gdy maleje odległość między $x$ a $x_0$, czyli gdy liczby $x$ sÄ coraz bliĹźsze $0$. Dla $x\neq 0$ wymiernych iloraz ma zawsze wartość $1$, dla niewymiernych zawsze $-1$, a dowolnie blisko zera znajdujÄ się i liczby wymierne i niewymierne, zatem iloraz nie ustala się wokół jakiejś liczby. Inny przykład: $g(x)=\left\{\begin{matrix} x^2 \mbox{ dla x wymiernych} \\ -x^2 \mbox{ dla x niewymiernych} \end{matrix}\right.$ Funkcja jest chyba nie mniej dziwna niĹź ta z przykładu wcześniej. Teraz podobnie $x_0=0=g(x_0)$, a iloraz róşnicowy $\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=\frac{g(x)}{x}=\pm \frac{x^2}{x}=\pm x$ WyraĹźenie to ma plus lub minus zaleĹźnie od tego, czy zbliĹźajÄ cy się do zera $x$ jest liczbÄ wymiernÄ czy niewymiernÄ . JednakĹźe NIEZALEĹťNIE OD TEGO, czy iloraz róşnicowy w tym przypadku przyjmuje wartości dodatnie czy ujemne, im bliĹźsze jest $x$ liczby $x_0=0$, tym wartości ilorazu bliĹźsze sÄ $0$. Nie ma tu znaczenia, czy przeskakujemy z liczb wymiernych na niewymierne i odwrotnie, w miarę zbliĹźania się \"z dowolnej strony\" czy \"w dowolny sposĂłb\" do $x_0$ otrzymujemy ZAWSZE iloraz róşnicowy zbliĹźajÄ cy się do $0$. Ta regularność to istnienie granicy ilorazu róşnicowego, czyli pochodnej. Funkcja $f$ z wcześniejszego przykładu nie była róşniczkowalna (w $x_0=0$, ale tak naprawdę nie jest róşniczkowalna nigdzie, w Ĺźadnym $x_0$ byśmy granicy ilorazu nie znaleĹşli), a funkcja $g$ jest róşniczkowalna w $x_0=0$, inaczej mĂłwiÄ c - ma tam pochodnÄ . Nie dlatego, Ĺźe coś się dzieje dla jakiejś \"liczby nieskończenie małej\", ale dlatego, Ĺźe z miarę dowolnego zmniejszania róşnicy $x$ i $x_0$ zaczyna się coś robić regularne. :)
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj

© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj