Teoria liczb, liczby pierwsze, wzory, rozwiązania

Autor	Wiadomość
wojdan postów: 2	2015-11-27 14:54:25 Witam serdecznie! Wszystkich interesujących się matematyką, w szczególności liczbami pierwszymi, zapraszam na mojego bloga http://kodliczbpierwszych.blogspot.com do zapoznania się z wyprowadzonym i udowodnionym (mam nadzieję) prze ze mnie wzorem na liczbę liczb pierwszych i nie większych od danej liczby naturalnej oraz w jaki sposób, przy wykorzystaniu min. tego wzoru rozwiązałem zadanie dotyczące liczb pierwszych bliźniaczych. Jeżeli znajdzie się ktoś chętny do podjęcia dyskusji, ktoś, kto ma czas i chęci na przeczytanie i wyrażenie swojej opinii, to będę wdzięczny i zmotywowany do dalszej pracy, która obejmuję częściowe rozwiązania i dalszy plan dowodu na następujące zagadnienia: * liczby pierwsze Sophie Germain, * liczby pierwszy czworacze, * Hipoteza Goldbacha, * i kilku innych. Zgromadzona przeze mnie wiedza jest dość obszerna, dlatego zamieściłem ją w książce, a tą na blogu. W razie pytań, wątpliwości, niejasności, niezrozumiałych skrótów myślowych, błędów - służę wyjaśnieniami i pomocą. Zapraszam również do dyskusji. Wiadomość była modyfikowana 2015-11-27 14:55:45 przez wojdan

wojdan postów: 2	2015-12-01 09:51:32 Fragment Abstraktu: Celem artykułu jest: poznanie sposobu na przeliczenie liczb pierwszych, które znajdujemy po wykonaniu algorytmu Eratostenesa, zapisanie tego sposobu w postaci wzoru ujawniając tym samym kod, dowiedzieć się, jak zmodyfikować algorytm, by znaleźć dowolne liczby pierwsze oraz jak wykorzystać kod do rozwiązywania zagadnień związanych z tymi liczbami. ... Rozwiązanie danego problemu można podzielić na etapy: 1. Wprowadzamy definicję interesujących liczb. 2. Dowodzimy twierdzeń mówiących o zbiorze tych liczb. 3. Na podstawie tych twierdzeń, definiujemy algorytm znajdujący zdefiniowane liczby. 4. Wprowadzamy definicję funkcji zliczającej te liczby i stawiamy tezę. 5. Na podstawie algorytmu, wyprowadzamy wzór na tą funkcję. 6. Analizujemy wzór i potwierdzamy lub obalamy tezę. ... --------------------------------------- Przy czym problem związany z liczbami pierwszymi jest częściowo rozwiązany, gdyż mamy już je zdefiniowane (pkt. 1), mamy algorytm znajdujący te liczby (pkt. 3) i to od dawna, mamy funkcję zliczającą te liczby (pkt. 4) oraz umiemy udowodnić, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, ale nie w oparciu o wzór na tą funkcję. Zatem brakuje nam pkt. 2, 5 i 6, za to problem z liczbami pierwszymi bliźniaczymi, czy Sophie Germain, to jak dotąd mieliśmy tylko definicję. Możemy założyć, że nie wiemy, czy liczb pierwszych jest nieskończenie wiele i chcemy się tego dowiedzieć wyprowadzając wzór i go analizując realizując przy tym punkt 5. Opracowanie punktu 5. Liczb liczb pierwszych $\le n$. Mamy przepis podany przez Eratostenesa, znajdujący nam liczby pierwsze nie większa od danej liczby naturalnej n, co oznacza, że jak policzymy te liczby to się dowiemy czemu jest równa funkcja $\pi (n)$. Problem polega na tym, że umiemy je znaleźć, ale nie umiemy ich policzyć, chyba, że algorytm ten wykonamy i policzymy ręcznie, ile liczb zostaje po jego wykonaniu. Jednak sposób ten nie jest dobry, gdyż jest ograniczony. Jak zatem policzyć te liczby nie wykonując algorytmu? Mamy funkcję zliczającą liczby pierwsze (w skrócie $llp$), wiec do kompletu stwórzmy funkcję zliczającą liczby złożone (w skrócie $llz$), definiując funkcję $f(n)$ jako liczba liczb złożonych i nie większych od n. Wiemy, że każda liczba naturalna $>1$ jest albo złożona albo pierwsza. A zatem rozpatrując ciąg liczb $1, 2, 3, ..., n$, w którym mamy $n$ liczb i spośród których $\pi (n)$ to liczba liczb pierwszych, $f(n)$ to liczba liczb złożonych oraz liczba liczb nie będących ani jedną ani drugą, czyli $1$. Skąd otrzymujemy, że $n-1 = f(n) + \pi (n)$. A stąd,$ \pi (n) = n - 1 - f(n)$. Czyli, żeby poznać $llp \le n$, to od liczby liczb jakie rozpatrujemy mamy odjąć $1$ i $llz \le n$. Czemu tak, a nie inaczej? Analizując algorytm Eratostenesa pod kątem: jak się ma jego definicja do efektu jaki uzyskujemy po jego wykonaniu, okazuję się, że nie znajdujemy wszystkich liczb pierwszych tylko kilka, a konkretnie to i pierwszych liczb pierwszych, z których największa to taka, że $(p_{i}) ^{2} \le (n)$ oraz wszystkie ich wielokrotności $\le n$. I tak ma się właśnie treść do efektu, tzn, szukamy, znajdujemy i zaznaczamy wg. tego przepisu prawie zupełnie coś innego, po czym stwierdzamy, że to czego szukaliśmy jest tym czego nie znaleźliśmy. Wynika stąd, że jak policzymy to, co faktycznie znajdujemy, to się dowiemy tego, czego nie wiemy. Z definicji algorytmy Eratostenesa wiemy, że mamy znaleźć i zaznaczyć następujące liczby: wielokrotności $> p_{1}$ i $\le n$, wielokrotności $> p_{2}$ i $\le n$, wielokrotności $> p_{3}$ i $\le n$, ... wielokrotności$ > p_{i}$ i $\le n$, gdzie $p_{i} \le \sqrt{n}$. Pozostałe będą pierwsze. Policzmy te liczby. Przede wszystkim znajdujemy $i$ liczb, tj. liczby: $p_{1}, p_{2}, ...,p_{i}$, a dla każdej z nich znajdujemy ich wielokrotności. Ile ich jest? Ile jest liczb naturalnych nie większych jak $n$ i podzielnych przez $2$? Ile jest podzielnych przez $3$, ile przez $5, 7, 11$, itd.? Odpowiedź na to pytanie jest oczywista, bo jest ich dokładnie: ... (Wojdanowski, Kod Liczb Pierwszych, 131). Wynika stąd, że na obliczenie $\le n$, mamy od $n$ odjąć liczbę liczb podzielnych przez $2$, których jest $\frac{n}{2}$, bez reszty, następnie odjąć od tego liczbę liczb podzielnych przez $3$, których jest $\frac{n}{3}$, bez reszty, ale do tego dodać z powrotem liczbę liczb podzielnych przez $2$ i $3$ jednocześnie, a takich jest $\frac{n}{6}$, bez reszty, ... (Wojdanowski, Kod Liczb Pierwszych, 135). Otrzymując ostatecznie wzór: $\pi (n) = n \cdot ( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{6} - \frac{1}{5} + ... - \frac{1}{(p_{i})!} )$, skąd $\pi (n) = n \cdot ( 1 - \frac{1}{p_{1}}) ( 1 - \frac{1}{p_{2}}) ... ( 1 - \frac{1}{p_{i}})$, gdzie: $p_{i}$ to $i-ta$ z kolei liczba pierwsza, $p_{i} \le \sqrt{n}$, $(p_{i})! = (p_{1})\cdot (p_{2})\cdot (p_{3}) ... (p_{i})$ przy zachowaniu niewygodnej równości warunkowej. Następnie chcemy się dowiedzieć, jak zmodyfikować algorytm, żeby znaleźć dowolne liczby pierwsze, np. bliźniacze, a następnie je policzyć i rozwiązać zadanie z nimi związane. Wiadomość była modyfikowana 2015-12-01 10:02:41 przez wojdan

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj