logowanie

matematyka » forum » matematyka » temat

Gra w Chaos, a trójąty Sierpińskiego i Pascala.

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorWiadomość

sylvi91
postów: 21
2018-05-27 19:43:50

Witam.

Chciałbym przedstawić pewne zagadnienie, z którym spotkałem się całkiem niedawno.
Sprawa dotyka skomplikowanego zagadnienia teorii liczb oraz geometrii, a w szczególnośći tworzenia powtarzalnych wzorów - zwanych fraktalami .
Wiadome jest pewnie większości, że trójkąt Pascala kryje w sobie wiele ciekawych właściwości związanych z liczbami.
Można tam odnaleść liczby pierwsze, liczby ciągu Fibonacciego, porównywać liczby w rządach do dwumianów Newtona i wiele więcej.
Pewnie Pascalowi nie wystarczyło by życia aby opisać wszystkie jego właściwości.
Jedna z kolejnych właściwośći tego trójkąta występuje gdy zastąpimy liczby parzyste w rzędach trójkąta jedynkami, a liczby nieparzyste samymi zerami.
Otrzymamy wtedy samopowtarzalny wzór, zwany trójkątem Sierpińskiego. Gdy wszystkie liczby w trójkącie Pascala zamienimy na tylko dwa znaki według tego sposobu otrzymamy fraktalną strukturę.

Trójkąt Pascala film.
Pascal's Triangle - Numberphile


Trójkąt Sierpińskiego zdjęcie.



Okazuje się, że trójkąt Sierpińskiego można otrzymać poprzez losowe wybory punktów w obszarze trójkąta równobocznego. Ta metoda
znana jest jako Gra w Chaos. I jej zasada jest niezwykle prosta.
Wyznacz raz losowo punkt startowy. Odmierz połowę odcinka pomiędzy tym punktem, a losowo wybranym wierzchołkiem trójkąta. Zaznacz punkt. Powtórz kroki.

Wikipedia w haśle Trójkąt Sierpińskiego podaje algorytm w następujący sposób:
"Ciekawym algorytmem pozwalającym otrzymać trójkąt Sierpińskiego jest gra w chaos. Narysujmy trójkąt równoboczny ABC, i definiujmy D0 := punkt A. Następnie należy wielokrotnie powtórzyć następującą operację: losowo wybieramy jeden z punktów A, B lub C, rysujemy punkt w połowie odległości między Dn i wybranym punktem. Nowo narysowany punkt oznaczamy przez Dn+1. Każdy punkt Dn będzie należeć do trójkąta Sierpińskiego, i cały trójkąt Sierpińskiego będzie prawie na pewno domknięciem zbioru {D0, D1,...}."

Metodę dobrze prezentuje poniższy film anglojęzyczny na kanale Numberphile.
Chaos Game - Numberphile

Poszukałem trochę i znalazłem implementację algorytmu dla języka C, w którym dla zabawy czasem programuję.
Zastosowanie komputerów do generacji fraktali wykorzystywał powszechnie francuski matematyk polskiego pochodzenia B. Mandelbrot.
Dzisiaj siędząc przed komputerem w domowym zaciszu można stworzyć takie rzeczy w przeglądarce internetowej za pomocą aplikacji webowej Geogebra. Link do Gry w Chaos na Geogebra znajduje się w opisie filmu o tej metodzie.
Ja poszedłem trochę w innym kierunku i stworzyłem miniaturową aplikację dla Windows. Z wykorzystaniem biblioteki Allegro 4.2, program rysuje według algorytmu.
Link Google Drive do mojego programu Gra w Chaos.
CHG 0.1 (beta)
Pobierz, rozpakuj, uruchom plik CHG.exe. Program działa raptem w 3 kolorach w trybie okienkowym o rozmiarze 1024x768.
Zauważyłem wydaje mi się słusznie, że uzyskanie fraktala o nazwie Trójkąt Sierpińskiego metodą Gra w Chaos, ukazuje jednak ukryty w tym chaosie porządek. Ponadto jak to jest, że Trójkąt Pascala ma w sobie ukryty ten sam fraktalny wzór w tych wszystkich liczbach?
Czyżby ostatecznie stoimy tylko przed wyborem TAK lub NIE, Czarne-Białe, 0-1 i natura świata jest bezsprzecznie dualistyczna/binarna?




tumor
postów: 8085
2018-05-27 21:43:28

Trójkąt Pascala powstaje przez rekurencję, nowy rząd tworzymy za pomocą poprzedniego.

Proponuję zostawić jedynki jedynkami, nie zmieniać ich na zera, a działanie (liczba w kolejnym wierszu jest sumą liczb "nad nią") wykonywać modulo 2.
To znaczy 1+1=0
0+0=0
1+0=0+1=1
Teraz dość oczywiste staje się, dlaczego otrzymujemy coś podobnego do trójkąta Sierpińskiego. Samopodobieństwo wynika właśnie z rekurencji i rozrastania się.

Polecam czytać tylko te teksty matematyczne, w których nie wspomina się o naturze świata. To znaczy te sensowne.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 24 drukuj