logowanie

matematyka » forum » matematyka » temat

Zwiększenie szans trafienia w lotto

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorWiadomość

dimgraf
postów: 2
2018-11-22 23:24:00

Witam,
postanowiłem się nieco pobawić z liczbami i przeanalizować czy da się opracować strategię zwiększającą szanse na wygraną. Pod lupę wziąłem lotto (dawniej duży lotek) gdzie jest losowane 6 liczb z 49.
Łatwo policzyć, że możliwych kombinacji jest prawie 14 mln.
${n \choose k}={49 \choose 6}=13983816$
Teoretycznie każdy układ jest tak samo prawdopodobny ale czy aby na pewno?

Nie słyszałem aby kiedykolwiek padła kombinacja złożona z 6 kolejnych po sobie liczb i choć teoretycznie jest to możliwe to tego typu zdarzenie byłoby raczej anomalią. W związku z tym myślę, że w naszej strategii możemy zacząć od wykreślenia z listy możliwych układów wszystkie tego typu więc zacznijmy od odrzucenia tych 44 układów. Co prawda dalej ilość kombinacji jest bliska 14 mln ale zawsze to jakiś krok na przód.

Podobnie można zrobić z kombinacjami złożonymi z 5,4 i 3 kolejno występujących po sobie, bo jak popatrzyłem na wylosowane układy do tej pory to również takie przypadki były rzadkie. Tu poproszę o małą pomoc w wyliczeniu ile takich układów będzie.

Kolejne układy, które też bym odrzucił to takie zawierające więcej jak jedną parę po sobie występującą. A więc 1,2,4,5,7,8, czy 1,2,4,5,8,10, itp. Tu również proszę o pomoc w wyliczeniu ich ilości.

Jeśli uważacie, że możemy jeszcze jakieś układy o jednakowych odległościach między liczbami wyeliminować proszę o sugestię i przy okazji wyliczenia o ile uda się nam zejść z tych prawie 14 mln dokonując takich eliminacji.

Niezależnie od tego ile uda nam się wyeliminować to wciąż pozostaną miliony kombinacji więc potrzeba nam jeszcze opracować sposób typowania.
Od czegoś trzeba zacząć więc pierwszą liczbę wybieramy dowolnie.
Choć sam typ to 1 na 49 to przy losowaniu 6 liczb mamy około 2/5 szansy, że zostanie ona wylosowana, a więc nieco mniej niż połowa. Jeśli w wcześniejszych działaniach odrzuciliśmy około 2,5 mln kombinacji to szansa na jedynkę wzrośnie do 50%.

Idziemy dalej. Teraz musimy wybrać 1 z 48 co jednak nie zwiększa nam szans na trafienie drugiej liczby. Wyobraźmy sobie, że nasze liczby są rozłożone na tarczy jak w zegarze więc licząc odstępy będziemy z 49 przeskakiwali na 1 i odwrotnie. Nic też nie stoi na przeszkodzie abyśmy sobie podzielili pulę liczb oraz typy na połowę. Mamy więc dwie grupy w jednej 2 liczby oddalone nie więcej niż o 24 w dowolną stronę i 3 liczby w stronę przeciwną.
Co to nam dało?
Mamy teraz po 50% szans, że kolejne wylosowane liczby znajdą się na prawo albo na lewo od naszej pierwszej liczby w odległości nie większej niż 25. Policzmy ile teraz mamy kombinacji.
${24 \choose 5} = 42504$
Więc typując 2 mamy:
${5 \choose 2}*{19 \choose 3}=9690$
A to daje prawdopodobieństwo trafienia trójki:
$\approx 1:4$
Prawie 25%.
Po stronie gdzie mamy 3 nasze szanse na 4 również rosną:
${5 \choose 3}*{19 \choose 2}=1710$
$\approx 1:25$
Umieśćmy po 1 liczbie po każdej ze stron i spróbujmy jeszcze bardziej zawęzić nasz wybór dla kolejnych 3. Znów dzielimy na połowę i otrzymujemy:
${12 \choose 3} = 220$
${3 \choose 2}*{9 \choose 1}=27 \approx 1:8$
${3 \choose 1}*{9 \choose 2}=108 \approx 1:2$
Dla ostatniej liczby jeszcze raz sobie podzielimy na pół i wychodzi nam 1/6
Teraz pomnóżmy wszystkie prawdopodobieństwa:
1/2 * 1/2 * 1/4 * 1/2 * 1/2 * 1/6 = 1/384
W teorii ta strategia dała olbrzymi zysk choć to wciąż tylko matematyczna zabawa, a nie gwarancja, że wysyłając 384 zakłady po 3zł każdy wygramy cokolwiek. Notabene aby nie stracić musielibyśmy trafić minimum 48 trójek albo 7 czwórek. Trafienie piątki dało by całkiem niezły zysk, a z szóstką to już pewnie każdy wiedziałby co zrobić :P

A może ktoś z was ma inny pomysł jak "oszukać system" i zostać milionerem?


tumor
postów: 8085
2018-11-23 12:07:41

Ja mam pomysł, jak nie oszukiwać się samemu i nie wychodzić na oszołoma na forum matematycznym.

Przy uczciwym losowaniu każdy układ JEST tak samo prawdopodobny.

Fakt, że nie słyszałeś o wylosowaniu 6 liczb z rzędu daje się łatwo uzasadnić Twoimi obliczeniami.

Przypuśćmy, że mamy 3 losowania w tygodniu, to daje niecałe 160 losowań w roku, załóżmy, że lotto istniało przez ostatnie 100 lat (co jest nie całkiem prawdą, inna była też ilość losowań) i że przez cały ten okres obserwowałeś wyniki.
W ten sposób obejrzałeś wyniki 16000 losowań. Sam jednak podajesz, że możliwych wyników jest prawie 14 milionów, czyli

DO LICHA CIĘŻKIEGO

z pewnością nigdy nie pojawiło się ponad 13965000 wyników. Nie tylko tych, w których mamy 6 liczb po kolei.
Przeliczając na procenty: ponad 99,8% wyników nie miało szans się nigdy pojawić, a Ty z niepojawienia się wybranych 44 wyników wnioskujesz, że różne układy mają różne prawdopodobieństwa? :)

Załóżmy, że wybierasz 50 układów spośród 14 milionów. Wiesz, jaka jest szansa, że KTÓRYKOLWIEK z nich się pojawił w historii lotto?

$1-(1-\frac{50}{14000000})^{16000}=
1-(1-\frac{1}{280000})^{16000}=
1-((1-\frac{1}{280000})^{280000})^\frac{2}{35}<0,06$
(wynik zapodał wolframalpha)

Dziwne by było, gdybyś wymyślił 50 jakichś układów i którykolwiek już by w historii wystąpił. Nie dziwne jest, że spośród 44 układów "po kolei" żaden jeszcze nie wystąpił. Inna rzecz, że szacowałem ze sporym nadmiarem pisząc o 16000 losowań, gdy w rzeczywistości było ich o wiele mniej.

(wiki mówi, że gra istnieje od 1957 roku, czyli 61 lat, a ja jeszcze pamiętam "miliard w środę, miliard w sobotę" - losowania dwa razy w tygodniu. wg wiki do 2014 przeprowadzono 5500 losowań, od tego czasu mogło dojść 5*160, wobec tego policzmy dla 6300 losowań i 44 możliwych wyników)

$1-(1-\frac{44}{14000000})^{6300}\approx
1-(1-\frac{1}{318182})^{6300}\approx
1-((1-\frac{1}{318182})^{318182})^\frac{2}{101}<0,02$
(wynik zapodał wolframalpha)

Przy nieco bardziej realnych liczbach szacunki mówią, że seria liczb po kolei (dowolna) miała poniżej 2% szans na pojawienie się od początku istnienia lotto (duży lotek). Nie dziwi nas zatem, że takiej nie pamiętasz.

----

Powyżej obliczenia, ale ustrzec się oszołomstwa można też przeprowadzając następujące rozumowanie:
Zamiast numerować 49 kul dajemy im obrazki. Mamy kulę ze świstakiem i kulę ze słoneczkiem, kulę z portretem Newtona i kulę z portretem króla Lechii jego wysokości Sanjayi. Razem niech jest obrazków 49.

Powiesz teraz, które kule są po kolei? Czy Newton wypada przed słoneczkiem czy po? Dla kul nie ma znaczenia, co jest dla nich napisane. Liczby 1...49 pełnią rolę obrazków, grafik, nie reprezentują żadnej własności liczbowej, a wiec i liniowego porządku w liczbach naturalnych.

Innymi słowy: jeśli zaczynamy napisy na kulach traktować jak obrazki, nie zmienia to szans ich losowania, natomiast nie istnieje wtedy pojęcie "po kolei". Wobec tego Twoje rozumowania odnoszące się do kolejności są tak bardzo bezwartościowe jak płaskoziemstwo.

Uczcie się w szkole dzieci, uczcie.


dimgraf
postów: 2
2018-11-23 18:16:02

Czy ja ciebie w jakiś sposób obraziłem? Nie wiem, temat popularnej gry liczbowej jest jakimś tabu, którego nie wolno poruszać w żadnych matematycznych zabawach?
Po pierwsze stwierdzenie "oszukać system" celowo napisałem w cudzysłowie, bo oczywistym jest, że nie ma tu mowy o jakimkolwiek oszustwie.
Po drugie sugerowanie nieuctwa, nazywanie oszołomem i przyrównywanie do zwolenników teorii spiskowych jest najdelikatniej mówiąc chamskim zachowaniem.
A teraz odnośnie samego rozważania, które podjąłem.
Przykładowo prawdopodobieństwo, że padnie układ 1,2,3,4,5,6 (można tu wpisać dowolny inny, bo nie o to konkretnie tu chodzi) jest mniejsze, że padnie jakikolwiek inny. Tu chyba nie ma żadnych wątpliwości ponieważ przyrównuję pojedynczą możliwość do ponad 13 mln możliwości więc logiczne jest, że większe szanse na wygraną mamy obstawiając, że taki układ nie padnie niż to że padnie. I jakbyś zamiast obrażania przeczytał ze zrozumieniem i się trochę zastanowił to zauważyłbyś, że jednak mam trochę racji. Nie podważam, że każdy dowolny układ ma taką samą szansę zaistnienia, a zwracam tylko uwagę na to, że układy wykazujące określone zależności są bardziej prawdopodobne z racji tego, że jest ich po prostu więcej. To o czym mówię wyjaśnię na dwóch przykładach w mniejszej skali.

Przykład 1:
Rzucasz dwukrotnie sześcienną kostką do gry. Każdy układ jest tak samo prawdopodobny ale już to, że wypadnie łączna liczba oczek 7 jest bardziej prawdopodobne niż to, że suma oczek wyniesie 2.

Przykład 2:
Masz 3 pojemniki, a w każdym z nich 2 kulki: białą i czerwoną.
Z każdego pojemnika losujesz jedną. Znów za każdym razem masz 50% szans i każdy układ jest tak samo możliwy. Jednak obstawiając, że wylosujesz 2 białe i 1 czerwoną masz większe szanse na wygraną niż typując, że wszystkie 3 będą białe.

Dokładnie o tą samą zasadę chodzi w moim rozważaniu. Nie szukam jakiejś magicznej matematyki, która da mi 100% pewniaka i zgarnę miliony w najbliższej kumulacji, a po prostu jestem ciekaw jakich układów, wykazujących jakie zależności jest najwięcej, bo jak na mniejszych przykładach pokazałem typując takie układy zwiększamy szanse trafienia co jest potwierdzeniem tezy zawartej w tytule.


tumor
postów: 8085
2018-11-24 15:43:08

A czy ja jestem manipulującym oszołomem? :)

Nie jest żadnym tabu temat gier. Podobnie wolno na forum pisać, że są ludzie, którzy podchodzą do gier racjonalnie, a są też ludzie świrnięci wymyślający magiczne systemy. Żadne tabu. Nie ma tabu. Kichamy poprawność polityczną, piszmy oszołomom trudną prawdę. Pasuje?
Gdy oszołoma nazywamy oszołomem, to jest to prawda, nie chamstwo. Chamami są osoby, które Ci przez całe życie mówiły nieprawdę.

Chwytasz?

W Twoim rozumowaniu NIE chodzi o dokładnie tę samą zasadę. Twoje rozumowanie jest g-warte, podczas gdy w poruszonych przykładach mamy do czynienia z wynikami matematycznymi.

Przekształćmy przytoczone przykłady, żeby nawet niedouczone oszołomstwo widziało, że powinno raczej wrócić do szkoły na 8-15 lat zanim znów odpisze:

1.
Suma oczek 7 może wypaść jako 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1.
Suma oczek 11 może wypaść tylko jako 5+6 albo 6+5. Widzimy, że tych sposobów NIE JEST TYLE SAMO NIEUKU.

Seria 1,2,3,4,5,6 może wypaść jako
1,2,3,4,5,6 albo 1,2,3,4,6,5 albo 1,2,3,5,4,6 albo ogólnie jako jedna z 6! permutacji.
Seria (już nie kolejnych liczb) 1,4,6,21,39,41 może wypaść jako jedna z 6! permutacji.
6! permutacji i 6! permutacji, hmmm, czy 6! to więcej niż 6!? Rozważ to teraz całą mocą swego geniuszu, czy na pewno jest to "dokładnie ta sama zasada" co przed chwilą, gdy miałeś NIEUKU zupełnie inną liczbę sytuacji, w których wypada suma 7 niż suma 11.

No jak? Która z liczb, 6! czy 6!, jest Twoim zdaniem większa?

2.
Ten przykład pokazuje tylko, że uzyskanie w trzech kolejnych losowaniach takiej samej szóstki liczb jest mniej prawdopodobny niż uzyskanie dwa razy tej samej szóstki, a raz innej szóstki (gdy nie zwracamy uwagi na kolejność tych wyników). ;)
Jest to prawda. Nie przyda Ci się jednak do magicznego systemu.


----

I wyjaśnijmy sobie coś, z czego nie zdajesz sobie sprawy. Są dwa rodzaje ludzi. Jeden rodzaj ludzi zadaje pytanie, żeby poznać odpowiedź prawdziwą. Drugi rodzaj, nazywamy ich oszołomami, to sympatycy odpowiedzi z góry upatrzonej, szukający bardzo nieadekwatnych przykładów mających rzekomo ich magiczne sztuczki uzasadniać. Nawet gdy dostaną wyjaśnienie, że się mylą, wciąż wymyślają nietrafne przykłady mające pokazać, że się nie mylą.

Ten kłopot z przyjęciem poprawnej odpowiedzi, bo zabobon i marzenie z nią wygrywają, łączy wyznawców płaskoziemstwa, proepidemistów, turbolechitów i "świętą geometrię".



strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 34 drukuj