logowanie

Liczby pierwsze na Złotej Spirali.

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

Autor	Wiadomość
sylvi91 postĂłw: 23	2019-07-02 04:24:21 Cześć. Zastanowiło mnie poĹ‚Ä czenie ciÄ gu Fibonacciego ze zbiorem liczb pierwszych. Uznałem, Ĺźe przeprowadzę eksperyment i wyrysuję programowo spiralę, a następnie naniosę liczby Fibonacciego oraz liczby Pierwsze. Gdyby była juĹź taka spirala komuś znana to całkiem dobrze się składa, bo to co ja zauwaĹźam moĹźe jest wiadome, ale nie było dla mnie jeszcze przed eksperymentem. Otóş liczby pierwsze na spirali występujÄ w bardzo losowy sposĂłb, to jest pewne. Przybywa ich pomiedzy kolejnymi wyrazami ciÄ gu Fibonacciego, to jest pewne. Z obserwacji wynika teĹź coś takiego, Ĺźe: Suma liczb pierwszych na spirali pomiędzy kolejnymi wyrazami ciÄ gu Fibonacciego podzielona przez ilość liczb pierwszych, a następnie podzielona przez większÄ liczbę Fibonacciego daje w przybliĹźeniu połowę Złotej liczby Phi. WyjÄ tkiem jest poczÄ tek spirali, gdzie wartości sÄ rĂłwne 1. Czyli zbiĂłr jest w pewnym sensie zwiÄ zany ze złotÄ spiralÄ w ten sposĂłb. Czy moĹźe to zbyt naciÄ gany wniosek? Proszę zarkÄ Ä‡ na obrazek okna aplikacji, w ktĂłrej rysowałem spiralę i nanosiłem liczby pierwsze. Zrobiłem kilka zrzutĂłw. 1: 2: 3: Na tych zrzutach ekranu powinno być widać spiralę. Liczby pierwsze w zasadzie widać tylko na pierwszym zrzucie. Dalej liczby zostały wyĹ‚Ä czone, a jedynie ciut wieksze kropeczki od linii spirali sÄ trochę widoczne. Ale mamy dane o tych liczbach. IstotnÄ rzeczÄ jest wartość przy zmiennej AVG/F, ktĂłra pokazuje średniÄ liczb pierwszych podzielonÄ przez liczbę Fibonacciego, takĹźe ilość liczb pierwszych QTY w przedziale pomiędzy liczbami Fibonacciego, czyli w polu danego kwadratu. Gdyby ktoś był zainteresowany zabawÄ z aplikacjÄ , ktĂłra rysuje ta spiralę, to mogę udostępnić w następnym wpisie. Jest to miniaturowy programik, ale trochę wymagajÄ cy pod względem mocy sprzętowej. MoĹźe działać zarĂłwno na Windows jak i Linux. To na razie tyle. Dzięki za dotrwanie do końca i pozdrawiam.
sylvi91 postĂłw: 23	2019-07-04 20:11:07 ZałoĹźenie z powyĹźszej wiadomości zaczÄ Ĺ‚em sprawdzać dla większych wartości. Mam wyprowdzonÄ formułę dla liczb pierwszych. Jest ona zupełnie nowa dla mnie... i pewnie dla wielu innych pasjonatĂłw teorii liczb. Przynajmniej ja wcześniej o takiej nie słyszałem. Oto jej postać: $SP=1/2*Phi$ $SP= (((P1+P2+...+Pn)) / QP)/GF$ Gdzie: $SF < Pn <= GF$ $P1, P2, Pn$ - sÄ to liczby pierwsze $SF$ - mniejsza wartość ciÄ gu Fibonacciego (dolna granica zbioru) $GF$ - wieksza wartość ciÄ gu Fibonacciego (gĂłrna granica zbioru) $SP$ - suma liczb pierwszych w podzbiorze $QP$ - ilość liczb pierwszych w podzbiorze $Phi$ - Złota Liczba Phi 1.618... Przykładowy listing obliczeń z programu do kalkulacji na liczbach pierwszych i Fibonacciego. ________________________________________________________________________ ____________THAT APP IS CALCULATING THE PRIME NUMBERS SUBSETS___________ ____________BETWEEN FIBONACCI AND FINDING APPROXIMATION_________________ ____________TO THE GOLDEN NUMBER_PHI.___________________________________ _____________Author: Sylwester B aka Sylvi91____________________________ ________________________________________________________________________ Fib(1) = 1 - Fib(2) = 1 Primes list: Primes: Sum = 0 Qty = 0 Avg = 0.000000 Approximation to the The Golden Number Phi = 0.000000 ________________________________________________________________________ Fib(2) = 1 - Fib(3) = 2 Primes list: 2 Primes: Sum = 2 Qty = 1 Avg = 2.000000 Approximation to the The Golden Number Phi = 2.000000 ________________________________________________________________________ Fib(3) = 2 - Fib(4) = 3 Primes list: 3 Primes: Sum = 3 Qty = 1 Avg = 3.000000 Approximation to the The Golden Number Phi = 2.000000 ________________________________________________________________________ Fib(4) = 3 - Fib(5) = 5 Primes list: 5 Primes: Sum = 5 Qty = 1 Avg = 5.000000 Approximation to the The Golden Number Phi = 2.000000 ________________________________________________________________________ Fib(5) = 5 - Fib(6) = 8 Primes list: 7 Primes: Sum = 7 Qty = 1 Avg = 7.000000 Approximation to the The Golden Number Phi = 1.750000 ________________________________________________________________________ Fib(6) = 8 - Fib(7) = 13 Primes list: 11 13 Primes: Sum = 24 Qty = 2 Avg = 12.000000 Approximation to the The Golden Number Phi = 1.846154 ________________________________________________________________________ Fib(7) = 13 - Fib(8) = 21 Primes list: 17 19 Primes: Sum = 36 Qty = 2 Avg = 18.000000 Approximation to the The Golden Number Phi = 1.714286 ________________________________________________________________________ Fib(8) = 21 - Fib(9) = 34 Primes list: 23 29 31 Primes: Sum = 83 Qty = 3 Avg = 27.000000 Approximation to the The Golden Number Phi = 1.588235 ________________________________________________________________________ Fib(9) = 34 - Fib(10) = 55 Primes list: 37 41 43 47 53 Primes: Sum = 221 Qty = 5 Avg = 44.000000 Approximation to the The Golden Number Phi = 1.600000 ________________________________________________________________________ Fib(10) = 55 - Fib(11) = 89 Primes list: 59 61 67 71 73 79 83 89 Primes: Sum = 582 Qty = 8 Avg = 72.000000 Approximation to the The Golden Number Phi = 1.617978 ________________________________________________________________________ Fib(11) = 89 - Fib(12) = 144 Primes list: 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 Primes: Sum = 1164 Qty = 10 Avg = 116.000000 Approximation to the The Golden Number Phi = 1.611111 ________________________________________________________________________ Fib(12) = 144 - Fib(13) = 233 Primes list: 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 Primes: Sum = 3223 Qty = 17 Avg = 189.000000 Approximation to the The Golden Number Phi = 1.622318 ________________________________________________________________________ Fib(13) = 233 - Fib(14) = 377 Primes list: 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 Primes: Sum = 6989 Qty = 23 Avg = 303.000000 Approximation to the The Golden Number Phi = 1.607427 ________________________________________________________________________ Fib(14) = 377 - Fib(15) = 610 Primes list: 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 Primes: Sum = 18165 Qty = 37 Avg = 490.000000 Approximation to the The Golden Number Phi = 1.606557 ________________________________________________________________________ ... i dalej bez listowania liczb pierwszych, a tylko z wyliczeniem sumy oraz ilości i średniej i przyblizonej wartosci liczby Złotej. Fib(15) = 610 - Fib(16) = 987 Primes: Sum = 43635 Qty = 55 Avg = 793.000000 Approximation to the The Golden Number Phi = 1.606890 Fib(16) = 987 - Fib(17) = 1597 Primes: Sum = 109567 Qty = 85 Avg = 1289.000000 Approximation to the The Golden Number Phi = 1.614277 Fib(19) = 4181 - Fib(20) = 6765 Primes: Sum = 1624217 Qty = 297 Avg = 5468.000000 Approximation to the The Golden Number Phi = 1.616556 Fib(27) = 196418 - Fib(28) = 31781 Primes: Sum = 2499980948 Qty = 9738 Avg = 256724.000000 Approximation to the The Golden Number Phi = 1.615577 .... Aktualnie ustawiłem aplikację do wyciÄ gania Złotej Liczby ze zbiorĂłw liczb pierwszych dla gĂłrnego przedziału do 44 liczby ciÄ gu Fibonacciego, ktĂłra ma wartość 701408733... komputer juĹź oblicza ktĂłrÄ godzinę i jeszcze pewnie sporo mu zostało do końca. Co do algorytmu to moĹźe nie jest najszybszy, bo stosuję tablicę liczb pierwszych wyznaczonÄ metodÄ Sita Eratostenesa, a więc staroĹźytny juĹź algorytm... ktĂłry mimo to sprawdza się w dobie komputerĂłw. Co do powiÄ zania zbioru liczb pierwszych ze złotÄ spiralÄ i złotÄ liczbÄ to niewiele słyszałem do tej pory. A Wy?
masterkik postĂłw: 1	2020-05-16 20:08:40 Cześć, Szukałem trochę innych informacji, trafiłem przypadkiem tu i postanowiłem się zarejestrować i odkopać temat. Zrobiłem wizualizację (wykres excel)pierwszych ~65.5tyś liczb pierwszych na spirali r=e^fi (zapis biegunowy). Po krĂłtkich poszukiwaniach uznałem Ĺźe mogłem sobie rĂłwnie dobrze te liczby zaznaczyć na osi liczbowej i porzuciłem temat. CiÄ g Fibonacciego to jeden (pewnie pierwszy historycznie) przykład złotych ciÄ gĂłw i ma swoje wady. Do podobnych poszukiwań raczej uĹźywałbym ciÄ gu kolejnych potęg złotego Fi (ktĂłry spełnia swojÄ drogÄ warunek Fn=Fn-1+Fn-2 a stosunek kolejnych wyrazĂłw nie jest zbieĹźny do Fi tylko jest stale rĂłwny Fi). Dlaczego to miałby być Fibonacci, a nie Lucca? A moĹźe znajdziesz zasadę ogĂłlnÄ . Powodzenia! :)
sylvi91 postĂłw: 23	2020-10-13 18:09:36 Ĺťadnego zwiÄ zku liczb pierwszych z liczbami Lukasa i kolejnymi potęgami liczby Fi nie znalazłem jak dotÄ d. Natomiast podzbiory liczb pierwszych, ktĂłrych granicami sÄ kolejne liczby Fibonacciego majÄ taki zwiÄ zek opisany wyĹźej. Lub teĹź prawdopodobnie tak, jeśli nie pomyliłem oznaczeń Latexa. $ \displaystyle{ SUMA = \sum_{i=1}^{n} a_{i} \approx \frac12 \Phi \approx \frac{ \frac{a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}}{n}}{ fib(x) }} $ $ \displaystyle{ fib(x-1) < a_{n} \le fib(x)} $ Oto listing programu w C do obliczania tej zaleĹźności. Aplikacja działa na 64 bitowych zmiennych. #include <stdio.h> #include <time.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> #define Phi 1.618033988749895 #define BITS 8 #define PIECES 7 unsigned long long fib(int n) { if ((n == 1) || (n == 2)) return 1; else return fib(n - 1) + fib(n - 2); } // sprawdz czy x jest pierwsza czy nie unsigned long long ifnotPrime(char prime[], unsigned long long x) { return (prime[x/BITS] & (1 << ((x >> 1) & PIECES) ) ); } // zaznacz odpowiedni bit wedlug indexu unsigned long long makeComposite(char prime[], unsigned long long x) { prime[x/BITS] |= (1 << ((x >> 1) & PIECES)); /// ok for test fast ok return 0; } int main( int argc, const char* argv[] ) { time_t start; time_t end; // Get the system time int x; int y; unsigned long long i,j,k; unsigned long long sum_p=0; /// suma liczb pierwszych unsigned long long qty_p=0; ///qty liczb pierwszych w podzbiorze unsigned long long limit; /// limit of primes from fib unsigned long long subset_start=0; /// konieczne do właściwej iteracji unsigned long long subset_end=1; unsigned long long tempNumber=0; double approx_phi; double avg_p=0; qty_p=0; if ( argc == 3 ) { x = atoi( argv[1] ); y = atoi( argv[2] ); time(&start); // Get the system time if ((y>x) && (x>1)) { printf(\"________________________________________________________________________\n\"); printf(\"____________THAT APP IS CALCULATING THE PRIME NUMBERS SUBSETS___________\n\"); printf(\"____________BETWEEN FIBONACCI AND FINDING APPROXIMATION_________________\n\"); printf(\"____________TO THE GOLDEN NUMBER_PHI.___________________________________\n\"); printf(\"_____________Author: Sylwester B aka Sylvi91____________________________\n\"); printf(\"________________________________________________________________________\n\"); printf(\" Please wait for primes generator. Warning! For second argument f2 greater than 50 this may take couple minutes. Bigger f2 consume more and more memory.\n\"); limit = fib(y); /// tylko raz oblicz wartosc fibo char * prime; prime = (char*) malloc(sizeof(char)*limit/BITS); // alokacja pamieci if (prime==NULL) exit (1); /// memset(prime, 0, sizeof(prime)); // zainicjiuj zerowymi wartosciam // 2 jest ignorowane // petla od 3 // Eratostoenes . for (i = 3; i * i <= limit; i += 2) { if (!ifnotPrime(prime, i)) for ( j = i * i, k = i << 1; j < limit; j += k) makeComposite(prime, j); } // drukuj na ekranie jesli chcesz // printf(\"2 \"); /* // drukuj pozostale for (int i = 3; i <= limit; i += 2) if (!ifnotPrime(prime, i)) { printf(\"%d \", i); } printf(\"\n\"); */ subset_start=fib(x-1); /// konieczne do rozpoczęcia właściwej iteracji ale tylko raz subset_end=fib(x); ///w pętli juĹź tylko szybciej poprzez dodawanie liczb for (i=x;i<y;i++) /// główna pętla { /// fibo iteracja tempNumber = subset_start; subset_start = subset_end; subset_end = tempNumber + subset_start; /// zerowanie wartosci dla nowego zbioru sum_p = 0; qty_p = 0; avg_p = 0; approx_phi = 0; /// wypisz //printf(\"\n Fib(%llu) = %llu - Fib(%llu) = %llu \",i, subset_start,i+1,subset_end); //printf(\"\n Primes list: \n\"); for (j = subset_start+1; j <= subset_end; j+=2) /// Liczy co drugi element aby ominÄ Ä‡ parzyste co daje 50% oszczędności { if (j%2 == 0) /// jeśli j podzielne prze 2 to dodaj jeden { j++; } if (!ifnotPrime(prime, j)) /// prime czy nie { /// printf(\" %llu \",j); /// wypisz jak chcesz sum_p += j; qty_p += 1; } } if (j>5) { avg_p = sum_p/qty_p; ///approx_phi = ((avg_p/subset_end) >> 1); /// przesunięcie bitowe zamiast mnoĹźenia odpoda dla double approx_phi = ((avg_p/subset_end) *2); printf(\" Fib(%llu) = %llu - Fib(%llu) = %llu SUM = %llu QTY = %llu AVG = %.2f Phi = %f\n\",i,subset_start,i+1, subset_end, sum_p, qty_p, avg_p, approx_phi); } else { printf(\" Fib(%llu) = %llu - Fib(%llu) = %llu SUM = %llu QTY = %u AVG = %.2f Phi = %f\n\",i,subset_start,i+1, subset_end, i,1, 1.0, 1.0); } /// wypisz jak chcesz /* printf(\"\n\"); printf(\" Primes: SUM = %llu QTY = %llu AVG = %.2f \n\", sum_p, qty_p, avg_p); printf(\" Approximation to the The Golden Number Phi = %f \n\",approx_phi); printf(\"________________________________________________________________________\n\"); */ // } free(prime); // zwolnij pamiec time(&end); // czas zakonczenia double dif; dif = difftime (end,start); // ustal roznice printf (\"Your calculations took %.2lf seconds to run.\n\", dif ); // wypisz } else printf(\" Simple usage: pn f1 f2 \n where f1 and f2 are Fibonacci words in sequence and f1 >= 1 and f2 > f1\n Warning! f2 should not exceed 50 otherwise you will reach memory limit.\n\"); } // if else printf(\" Simple usage: pn f1 f2 \n where f1 and f2 are Fibonacci words in sequence and f1 >= 1 and f2 > f1\n Warning! f2 should not exceed 50 otherwise you will reach memory limit.\n\"); return 0; } Więcej wynikĂłw. Fib(30) = 832040 - Fib(31) = 1346269 SUM = 40227359343 QTY = 36981 AVG = 1087784 Approx. to Phi = 1.6159979915 Fib(31) = 1346269 - Fib(32) = 2178309 SUM = 101931466309 QTY = 57909 AVG = 1760200 Approx. to Phi = 1.6161159872 Fib(32) = 2178309 - Fib(33) = 3524578 SUM = 257870996074 QTY = 90550 AVG = 2847829 Approx. to Phi = 1.6159829631 Fib(33) = 3524578 - Fib(34) = 5702887 SUM = 654441400687 QTY = 142033 AVG = 4607671 Approx. to Phi = 1.6159082233 Fib(34) = 5702887 - Fib(35) = 9227465 SUM = 1661677489343 QTY = 222855 AVG = 7456316 Approx. to Phi = 1.6161136347 Fib(35) = 9227465 - Fib(36) = 14930352 SUM = 4221069024488 QTY = 349862 AVG = 12064954 Approx. to Phi = 1.6161647093 Fib(36) = 14930352 - Fib(37) = 24157817 SUM = 10735109882717 QTY = 549903 AVG = 19521824 Approx. to Phi = 1.6161910656 Fib(37) = 24157817 - Fib(38) = 39088169 SUM = 27324559743219 QTY = 865019 AVG = 31588392 Approx. to Phi = 1.6162635809 Fib(38) = 39088169 - Fib(39) = 63245986 SUM = 69592739215201 QTY = 1361581 AVG = 51111714 Approx. to Phi = 1.6162832531 Fib(39) = 63245986 - Fib(40) = 102334155 SUM = 177416424882449 QTY = 2145191 AVG = 82704255 Approx. to Phi = 1.6163568263 Fib(40) = 102334155 - Fib(41) = 165580141 SUM = 452491851513992 QTY = 3381318 AVG = 133821146 Approx. to Phi = 1.6163912555 Fib(41) = 165580141 - Fib(42) = 267914296 SUM = 1155101203883449 QTY = 5334509 AVG = 216533743 Approx. to Phi = 1.6164403784 Fib(42) = 267914296 - Fib(43) = 433494437 SUM = 2949939781199270 QTY = 8419528 AVG = 350368783 Approx. to Phi = 1.6164857174 Fib(43) = 433494437 - Fib(44) = 701408733 SUM = 7539299522749130 QTY = 13298630 AVG = 566923023 Approx. to Phi = 1.6165268447 Fib(44) = 701408733 - Fib(45) = 1134903170 SUM = 19277443065477372 QTY = 21014892 AVG = 917322966 Approx. to Phi = 1.6165660477 Fib(45) = 1134903170 - Fib(46) = 1836311903 SUM = 49319944945730044 QTY = 33227992 AVG = 1484289058 Approx. to Phi = 1.6165979816 Fib(46) = 1836311903 - Fib(47) = 2971215073 SUM = 126244882484469729 QTY = 52565409 AVG = 2401672219 Approx. to Phi = 1.6166263027 Fib(47) = 2971215073 - Fib(48) = 4807526976 SUM = 323315442948007805 QTY = 83198799 AVG = 3886059015 Approx. to Phi = 1.6166561454 Fib(48) = 4807526976 - Fib(49) = 7778742049 SUM = 828390738449096336 QTY = 131744274 AVG = 6287869015 Approx. to Phi = 1.6166801715 Fib(49) = 7778742049 - Fib(50) = 12586269025 SUM = 2123542722014291259 QTY = 208718785 AVG = 10174181121 Approx. to Phi = 1.6167112114 Fib(50) = 12586269025 - Fib(51) = 20365011074 SUM = 5445740631692717113 QTY = 330797447 AVG = 16462462697 Approx. to Phi = 1.6167398718 Fib(51) = 20365011074 - Fib(52) = 32951280099 SUM = 13971588279376661576 QTY = 524513152 AVG = 26637250612 Approx. to Phi = 1.6167657543 Fib(52) = 32951280099 - Fib(53) = 53316291173 SUM = 35859516892843327174 QTY = 831993816 AVG = 43100701235 Approx. to Phi = 1.6167929271 Fib(53) = 53316291173 - Fib(54) = 86267571272 SUM = 92072211900316816991 QTY = 1320232935 AVG = 69739369060 Approx. to Phi = 1.6168154043 Your calculations took 918.00 seconds to run. 64.5 % from 8GB memory usage.
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj

© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj