Zadania tekstowe, zadanie nr 1000
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
gadopa post贸w: 2 |  2017-10-28 02:46:12Suma trzech liczb jest kwadratem. Sumy dw贸ch par liczb tak偶e s膮 kwadratami a suma trzeciej pary to 31. Jakie to liczby? |
gadopa post贸w: 2 | 2017-10-28 02:46:54 ? |
rockstein post贸w: 33 | 2017-11-01 16:18:49 Oznaczmy szukane liczby jako a, b, c. Aby nieco upro艣ci膰 sobie zadanie przyjmuj臋, 偶e s膮 to liczby naturalne, tj. dodatnie i ca艂kowite. Z tekstu zadania wynika: a+b+c=m^2; a+b=n^2; a+c=p^2; b+c=31. Skoro a, b, c s膮 liczbami naturalnymi, to m, n, p s膮 tak偶e liczbami naturalnymi. Bior膮c c=31-b (b musi by膰 mniejsze od 31, bo c jest liczb膮 naturaln膮!) i podstawiaj膮c t臋 zale偶no艣膰 do r贸wnania pierwszego i trzeciego otrzymuj臋 uk艂ad: a+31=m^2; a+b=n^2; a-b=p^2-31.Przekszta艂cam r贸wnanie pierwsze: a=m^2-31, sk膮d przy za艂o偶eniu, 偶e a jest l. naturaln膮 musi by膰 m=>6. Sumuj膮c r贸wnania drugie i trzecie: a=(p^2+n^2-31)/2. Por贸wnuj膮c oba wyra偶enia opisuj膮ce a otrzymuj臋: p^2+n^2=2*(m^2)-31 Bior膮c najmniejsz膮 mo偶liw膮 warto艣膰 m=6 otrzymuj臋: p^2+n^2=41. Liczb臋 41 mo偶na przedstawi膰 jako sum臋 dw贸ch kwadrat贸w tylko na jeden spos贸b, jako 25+16.Przy naszych za艂o偶eniach (a, b, c, s膮 l. naturalnymi) wi臋kszy z tych kwadrat贸w musi by膰 mniejszy ni偶 m^2= 36. Zatem r贸wnania wyj艣ciowe b臋d膮 mia艂y zamiast parametr贸w m, n, p, konkretne warto艣ci liczbowe: a+b+c=36; a+b=25; a+c=16; b+c=31. Po elementarnych przekszta艂ceniach otrzymuj臋: a=5; b=20; c=11. 艁atwo sprawdzi膰, 偶e liczby te spe艂niaj膮 warunki zadania. Gdy wezm臋 jako m kolejn膮 liczb臋 naturaln膮, tj. m=7, otrzymam: p^2+n^2=67. Tej liczby nie da si臋 przedstawi膰 jako sumy dw贸ch kwadrat贸w. Bior膮c dalej m=8 otrzymuj臋: p^2+n^2=97. T臋 liczb臋 da si臋 przedstawi膰 jako sum臋 dw贸ch kwadrat贸w: 16+81, w贸wczas r贸wnania wyj艣ciowe przekszta艂caj膮 si臋 nast臋puj膮co: a+b+c=64; a+b=81; a+c=16; b+c=31. Rozwi膮zaniami tego uk艂adu s膮 liczby: a=33; b=48; c=-17. Problem polega na tym, 偶e otrzymane c<0 nie jest liczb膮 naturaln膮! Potwierdza si臋 nasze zastrze偶enie sformu艂owane kilka wierszy wy偶ej, m>n; m>p; m^2>31. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj