logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 100

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

canella20
postów: 7
2011-01-30 15:41:47

Niech Y oznacza zbiór wszystkich wektorów y należących do Rn, których współrzędne (względem standardowej bazy) o nieparzystych indeksach są sobie równe. Sprawdzić, że Y jest podprzestrzenią liniową przestrzeni Rn. wyznaczyć jej bazę i wymiar.


tumor
postów: 8070
2012-10-11 14:19:36

Jeśli $e_k$ jest wektorem bazy standardowej złożonym z samych zer poza jedynką na k-tej współrzędnej, to bazą $Y$ jest $\{e_{2k}: k\in N_+\}\cup\{[1,1,...]\}$.
Oczywiście wektory bazy standardowej są liniowo niezależne, wektor jedynek nie jest ich kombinacją liniową, żaden wektor standardowy nie jest kombinacją wektora jedynek i pozostałych wektorów bazy standardowej.
Równie oczywisty jest fakt, że ten zestaw wektorów rozpina Y, jeśli bowiem $v=[x,a_2,x,a_4,x,a_6,...]\in Y$, to
$v=x[1,1,...]+(a_2-x)e_2+(a_4-x)e_4+...$

Parzystych wektorów bazy standardowej jest $[ {\frac{n}{2}} ]$ (tu nawias oznacza całość czyli podłogę). Zatem wymiar $Y$ wynosi $[\frac{n}{2}]+1$.

Formalnością jest sprawdzenie, że suma dwóch wektorów z $Y$ należy do $Y$, a także iloczyn wektora z $Y$ przez skalar należy do $Y$. Dodawanie i mnożenie przez skalar nie zmieniają własności posiadania identycznych współrzędnych o nieparzystych indeksach.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 50 drukuj