Algebra, zadanie nr 1014

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
niki92 postów: 19	2013-02-04 13:53:44 Wyznacz przedział monotoniczności oraz exstrema funkcji [f(x)=xe^{-x}] Podać twierdzenie z którego korzystamy w tym zadaniu Wiadomość była modyfikowana 2013-02-04 14:24:08 przez niki92

tumor postów: 8070	2013-02-04 14:58:38 $f`(x)=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x)$ $f`(x)=0$ dla $x=1$ Na lewo od x=1 pochodna dodatnia (f rosnąca), na prawo pochodna ujemna (f malejąca), czyli w x=1 mamy maksimum. Korzystamy z twierdzenia Fermata (warunek konieczny istnienia ekstremum) i z twierdzenia o związku monotoniczności z pochodną. Do skopiowania z podręcznika albo internetu, więc nie będę treści tu pisał.

niki92 postów: 19	2013-02-04 15:02:48 a mogłabym prosić dokładnie jak ci wyszło że pochodna jest równa 0 dla x=1 i jeszcze te przedziały monotoniczności

tumor postów: 8070	2013-02-04 15:17:27 Naucz się zaglądać czasem do notatek. To się przydaje. Pochodna (policzona ze wzorów na pochodną iloczynu i pochodną złożenia) wyszła $f`(x)=e^{-x}(1-x)$ Iloczyn jest równy 0, gdy co najmniej jeden czynnik jest równy 0. Czynnik $e^{-x}$ nie jest NIGDY równy 0, funkcje wykładnicze przyjmują wartości dodatnie. Czynnik $1-x$ jest równy zero, gdy $x=1$. Ekstremum funkcji różniczkowalnej szukamy tylko tam, gdzie pochodna jest równa 0, zatem tylko dla $x=1$ ekstremum być może istnieje (o tym mówi warunek konieczny. Polecam przeczytać przed pójściem dalej). Żeby sprawdzić, czy ekstremum tam na pewno istnieje, można użyć różnych metod. Skoro przy okazji liczymy monotoniczność, to najlepiej się przyjrzeć znakom pochodnej. Dla $x<1$ pochodna jest dodatnia, bo $1-x$ jest liczbą dodatnią i $e^{-x}$ jest liczbą dodatnią. Dla $x>1$ pochodna jest liczbą ujemną, bo $1-x$ jest liczbą ujemną, a $e^{-x}$ jest liczbą dodatnią. Tw. o związku znaku pochodnej z monotonicznością funkcji mówi, że wówczas f jest malejąca dla x>1 i rosnąca dla x<1. Skoro funkcja najpierw rośnie, a potem maleje, to na styku musieliśmy mieć maksimum lokalne (dla x=1).

niki92 postów: 19	2013-02-04 16:53:48 dzienki. notatki mam ale są tak chaotycznie napisane przez moją panią profesor że nie da sie nic z nim zrozumieć. naprawde wielkie dzienki

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj