logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 102

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

canella20
postów: 7
2011-01-30 16:04:46

Niech e1,e2,e3,e4 będą liniowo niezależnymi wektorami przestrzeni X. W zależności od parametru p należącego do R określić wymier podprzestrzeni rozpiętej przez wektory:
2pe1-2e2+pe3+3e4, 4e1-pe2+2e3+(p+1)e4, 2e1-e2+e3+3e4


tumor
postów: 8070
2012-10-11 13:22:26

Przestrzeń $X_1=lin(e_1,e_2,e_3,e_4)$ jest podprzestrzenią przestrzeni $X$ i ma wymiar $4$, bazą tej podprzestrzeni są wektory $e_1,e_2,e_3,e_4$.

Kombinacje liniowe tych wektorów to inaczej wektory w tej bazie. Stwórzmy macierz współczynników:

$\begin{array}{c}
2p&& -2&& p&& 3\\
4&& -p&& 2&& (p+1)\\
2&& -1&& 1&& 3\\
\end{array}$

Wymiar przestrzeni $X_2=lin(2pe_1-2e_2+pe_3+3e_4, 4e_1-pe_2+2e_3+(p+1)e_4, 2e_1-e_2+e_3+3e_4)$ jest równy rzędowi macierzy współczynników, maksymalnie będzie to oczywiście $3$.

Żeby zbadać rząd macierzy przyjrzyjmy się minorom.
Wyznacznik macierzy
$\begin{array}{c}
-2&& 3\\
-1&& 3\\
\end{array}$
jest niezerowy, zatem $2\le dimX_2\le 3$
Wyznacznik macierzy
$\begin{array}{c}
2p&& -2&& 3\\
4&& -p&& (p+1)\\
2&& -1&& 3\\
\end{array}$
ma wartość $-6p^2-12-4(p+1)+6p+24+2p(p+1)=-4p^2+4p+8=-4(p+1)(p-2)$

Zatem jeśli $p$ jest różne od $-1$ i $2$ to rząd macierzy (i wymiar $X_2$) są równe $3$.

Jeśli $p=2$, to widzimy, że pierwsze dwa wiersze są identyczne, czyli $dimX_2=2$.
Jeśli $p=-1$ otrzymujemy macierz
$\begin{array}{c}
-2&& -2&& -1&& 3\\
4&& 1&& 2&& 0\\
2&& -1&& 1&& 3\\
\end{array}$

Zauważmy, że jeśli pierwszy wiersz dodamy dwukrotnie do drugiego, a jednokrotnie do trzeciego, dostaniemy:

$\begin{array}{c}
-2&& -2&& -1&& 3\\
0&& -3&& 0&& 6\\
0&& -3&& 0&& 6\\
\end{array}$

Zatem dla $p$ równego $-1$ lub $2$ wymiar wynosi $2$, dla pozostałych $p$ rzeczywistych wymiar wynosi $3$.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 19 drukuj