Algebra, zadanie nr 102
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
canella20 post贸w: 7 |  2011-01-30 16:04:46Niech e1,e2,e3,e4 b臋d膮 liniowo niezale偶nymi wektorami przestrzeni X. W zale偶no艣ci od parametru p nale偶膮cego do R okre艣li膰 wymier podprzestrzeni rozpi臋tej przez wektory: 2pe1-2e2+pe3+3e4, 4e1-pe2+2e3+(p+1)e4, 2e1-e2+e3+3e4 |
tumor post贸w: 8070 | 2012-10-11 13:22:26 Przestrze艅 $X_1=lin(e_1,e_2,e_3,e_4)$ jest podprzestrzeni膮 przestrzeni $X$ i ma wymiar $4$, baz膮 tej podprzestrzeni s膮 wektory $e_1,e_2,e_3,e_4$. Kombinacje liniowe tych wektor贸w to inaczej wektory w tej bazie. Stw贸rzmy macierz wsp贸艂czynnik贸w: $\begin{array}{c} 2p&& -2&& p&& 3\\ 4&& -p&& 2&& (p+1)\\ 2&& -1&& 1&& 3\\ \end{array}$ Wymiar przestrzeni $X_2=lin(2pe_1-2e_2+pe_3+3e_4, 4e_1-pe_2+2e_3+(p+1)e_4, 2e_1-e_2+e_3+3e_4)$ jest r贸wny rz臋dowi macierzy wsp贸艂czynnik贸w, maksymalnie b臋dzie to oczywi艣cie $3$. 呕eby zbada膰 rz膮d macierzy przyjrzyjmy si臋 minorom. Wyznacznik macierzy $\begin{array}{c} -2&& 3\\ -1&& 3\\ \end{array}$ jest niezerowy, zatem $2\le dimX_2\le 3$ Wyznacznik macierzy $\begin{array}{c} 2p&& -2&& 3\\ 4&& -p&& (p+1)\\ 2&& -1&& 3\\ \end{array}$ ma warto艣膰 $-6p^2-12-4(p+1)+6p+24+2p(p+1)=-4p^2+4p+8=-4(p+1)(p-2)$ Zatem je艣li $p$ jest r贸偶ne od $-1$ i $2$ to rz膮d macierzy (i wymiar $X_2$) s膮 r贸wne $3$. Je艣li $p=2$, to widzimy, 偶e pierwsze dwa wiersze s膮 identyczne, czyli $dimX_2=2$. Je艣li $p=-1$ otrzymujemy macierz $\begin{array}{c} -2&& -2&& -1&& 3\\ 4&& 1&& 2&& 0\\ 2&& -1&& 1&& 3\\ \end{array}$ Zauwa偶my, 偶e je艣li pierwszy wiersz dodamy dwukrotnie do drugiego, a jednokrotnie do trzeciego, dostaniemy: $\begin{array}{c} -2&& -2&& -1&& 3\\ 0&& -3&& 0&& 6\\ 0&& -3&& 0&& 6\\ \end{array}$ Zatem dla $p$ r贸wnego $-1$ lub $2$ wymiar wynosi $2$, dla pozosta艂ych $p$ rzeczywistych wymiar wynosi $3$. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj