Algebra, zadanie nr 1051
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
elfishy post贸w: 6 |  2013-02-07 19:51:30wyznacz 3 trzecie pierwiastki z liczby zespolonej z=1-i |
tumor post贸w: 8070 | 2013-02-07 20:08:29 $z=1-i=\sqrt{2}(cos\frac{7\pi}{4}+isin\frac{7\pi}{4})$ Jeden pierwiastek to $\sqrt[3]{\sqrt{2}}(cos\frac{7\pi}{12}+isin\frac{7\pi}{12})=\sqrt[6]{2}(cos\frac{7\pi}{12}+isin\frac{7\pi}{12})$ Pozosta艂e dwa r贸偶ni膮 si臋 o k膮t $120^\circ$ (raz go doda膰, raz go odj膮膰). Warto艣ci dla tych k膮t贸w s膮 do policzenia, wi臋c czasem nie bierz przybli偶onych jak b臋dziesz z postaci trygonometrycznej wraca膰 do algebraicznej. ;) |
elfishy post贸w: 6 | 2013-02-07 20:10:58 ale jak do tego doszed艂e艣? i jak te dwa doda膰 i odj膮膰? nie ogarniam w ogole |
tumor post贸w: 8070 | 2013-02-07 20:30:22 Nie ogarniasz w og贸le. Wcze艣nie si臋 bierzesz za nauk臋. Liczba zespolona ma interpretacj臋 geometryczn膮. To punkt na p艂aszczy藕nie (lub wektor). Ten punkt/wektor (je艣li $z\neq 0$) wyznacza pewien k膮t skierowany. D艂ugo艣膰 wektora, inaczej odleg艂o艣膰 liczby zespolonej od 0, to modu艂 liczby zespolonej oznaczany przez $|z|$. U偶ywaj膮c tej interpretacji mo偶na liczb臋 zespolon膮 napisa膰 w postaci trygonometrycznej. $z=|z|(cos\alpha +isin\alpha)$, gdzie $\alpha$ jest wspomnianym wy偶ej k膮tem. Je艣li sobie narysujesz liczb臋 1-i w uk艂adzie wsp贸艂rz臋dnych, to z Tw. Pitagorasa policzysz (je艣li nie umiesz inaczej), 偶e jej d艂ugo艣膰 to $\sqrt{2}$. Natomiast k膮t to $360^\circ-45^\circ$, czyli $\frac{7\pi}{4}$. Pierwiastki liczby zespolonej uk艂adaj膮 si臋 dooko艂a 0 w r贸wnych odleg艂o艣ciach. Je艣li to pierwiastki trzeciego stopnia, to s膮 trzy, dlatego wyst臋puj膮 co $\frac{360^\circ}{3}=120^\circ=\frac{2}{3}\pi$. D艂ugo艣膰 wszystkich pierwiastk贸w n-tego stopnia z liczby $z$ to $\sqrt[n]{|z|}$. Zatem wszystkie pierwiastki b臋d膮 si臋 zaczyna膰 od $\sqrt[6]{2}$ (bo to ich d艂ugo艣膰), a potem b臋dzie $(cos\beta+isin\beta)$. K膮t $\beta$ liczymy dziel膮c $\alpha$ na 3 (bo trzeciego stopnia pierwiastek). Potem drugi pierwiastek dostajemy obracaj膮c o $\frac{2}{3}\pi$, a trzeci obracaj膮c raz jeszcze o $\frac{2}{3}\pi$. Ostatecznie pierwiastkami s膮 $\sqrt[6]{2}(cos\frac{7\pi}{12}+isin\frac{7\pi}{12})$ $\sqrt[6]{2}(cos\frac{15\pi}{12}+isin\frac{15\pi}{12})$ $\sqrt[6]{2}(cos\frac{23\pi}{12}+isin\frac{23\pi}{12})$ warto艣ci funkcji trygonometrycznych da si臋 policzy膰 wzorami licealnymi, mo偶esz je te偶 wzi膮膰 st膮d: http://www.math.edu.pl/wartosci-funkcji-trygonometrycznych |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj