logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Topologia, zadanie nr 1070

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mat12
postów: 221
2013-02-11 11:40:54

1) W zbiorze $\mathbb{R}$ definiujemy topologię $\tau$ w następujący sposób:
$A\in \tau\iff 1\notin A $ lub $ 0\in A$
A.Czy $(\mathbb{R},\tau)$ jest $T_{1}$-przestrzenią?
B.Czy $(\mathbb{R},\tau)$ jest przestrzenią ośrodkową?
C.Czy $\mathbb{Q}\in \tau\cap \sigma$ ?
D.Czy $\tau$ zawężone do przedziału (1,2) jest topologią dyskretną?

odpowiedzi to:
A.nie
B.nie
C.tak
D.tak

2) Rozważmy $(\mathbb{R},\tau_{n})$,gdzie $\tau_{n}$ oznacza topologię naturalną.
Niech A= {$\frac{(-1)^k}{2^k};k\in \mathbb{N_{1}}$}$\cup ${$0$} , B= (0,1) \ {$\frac{1}{k}; k\in\mathbb{N_{2}}$}.
A.Czy int A= $\emptyset$?
B.Czy A jest zbiorem zwartym?
C.Czy B jest zbiorem spójnym?
D.Czy cl(B) jest zbiorem spójnym?

odpowiedzi to:
A.tak
B.tak
C.nie
D.tak

jest ktoś kto umiałby uzasadnić te odp(czemu tak a nie inaczej:))
bardzo proszę:)
z góry dziękuję

Wiadomość była modyfikowana 2013-02-11 13:37:25 przez mat12

tumor
postów: 8070
2013-02-11 13:18:04

1.
A.
Dla $x=1, y=0$ nie da się znaleźć zbioru otwartego $U$ takiego, że $x\in U$ oraz $y\notin U$.
Na pewno bowiem jeśli $x\in U$ to $1\in U$, skoro $U$ otwarty to $0\in U$, zatem $y\in U$.
Nie jest spełniony warunek $T_1$

B. Pytamy, czy istnieje przeliczalny podzbiór w $R$, który jest gęsty w sensie tej topologii, czyli który po domknięciu da cały zbiór $R$.
Niech $A\subset R$ będzie zbiorem przeliczalnym. Zbiór $B=A\cup\{1\}$ jest domknięty, bo $R\backslash B$ jest otwarty. Zarazem $B$ jest przeliczalny. Oraz $A\subset B$, czyli $cl A\subset cl B=B\neq R$. Nie istnieje zbiór przeliczalny, który jest gęsty.

Inaczej to samo:
Niech A będzie zbiorem przeliczalnym. Wówczas istnieje liczba rzeczywista $x$ różna od 1 taka, że $x\notin A$. Zbiór $\{x\}$ jest otwarty, bo $1\notin \{x\}$ i rozłączny z A, zatem A nie jest gęsty.

Będziesz mieć tego więcej? Podstawy topologii są ciekawsze od podstaw algebry :P


tumor
postów: 8070
2013-02-11 13:28:19

1.
C. zdefiniuj $\sigma$. Nie definiować można jeśli się przez jakiś czas robi to samo na zajęciach, ale przedstawiając komuś pisz, co znaczą symbole.

D.
Weźmy $A\subset(1,2)$. $A\in \tau$, bo $1\notin A$. I tyle. Nie trzeba robić przekrojów, topologii dziedziczonej i innych dziwnych rzeczy, bo po prostu $P(A)\subset \tau$.

2.
A. W topologii naturalnej na $R$ zbiory przeliczalne niepuste nie są otwarte. Niepusty zbiór otwarty można traktować jak sumę kul otwartych czy zbiorów bazowych (jak mieliście wprowadzaną topologię naturalną na $R$?), każdy taki zbiór jest nieprzeliczalny.

W tym konkretnym przypadku można też pokazać, że w dowolnym otoczeniu dowolnego $x\in A$ znajdują się punkty spoza zbioru $A$.


tumor
postów: 8070
2013-02-11 13:49:52

2.
B.
Jeśli $x=0$, to każde otoczenie V punktu x zawiera prawie wszystkie elementy zbioru A (wszystkie poza najwyżej skończoną ilością). W szczególności kule otwarte w metryce euklidesowej o środku w 0 i dowolnym dodatnim promieniu spełniają ten warunek.

Jeśli P jest pokryciem otwartym zbioru A, to istnieje otwarty zbiór V taki, że $0\in V\in P$. Wówczas jedynie skończona ilość punktów $x$ należących do $A$ jest poza $V$, dla każdego z nich istnieje otoczenie $U_x\in P$. Otrzymujemy podpokrycie skończone.

Jeśli zwartość była zdefiniowana inaczej, ciągami, to bierzemy dowolny ciąg elementów z A i pokazujemy, że albo istnieje podciąg stały (zbieżny), albo istnieje podciąg zbieżny do 0 (też, oczywiście, zbieżny :P).

C.
mamy $x_0=\frac{1}{13101307}\notin B$
Zbiory $(0,x_0)$ i $(x_0,1)$ są domknięto-otwarte w B.

D. Weźmy $x=\frac{1}{k}$, $k\in N_1$ (zauważ, nie wziąłem $N_2$)
Wtedy dowolne otoczenie punktu $x$ zawiera elementy zbioru $B$, czyli $x\in cl B$.
Podobnie się dzieje, jeśli $x=0$.
Zatem $B\subset [0,1]\subset cl B$, oraz $[0,1]$ domknięty, czyli $[0,1]=cl B$, a to zbiór spójny


mat12
postów: 221
2013-02-11 14:19:18

ogromnie dziękuję.tak się składa że będę miała jeszcze trochę takich zadań:)


mat12
postów: 221
2013-02-11 17:23:02

w 1)
C. $\sigma$ oznacza rodzinę zbiorów domkniętych w topologii (tutaj ($\mathbb{R},\tau$))


tumor
postów: 8070
2013-02-11 17:29:40

C.
$0\in Q$, zatem $Q$ jest otwarty, $Q\in \tau$

Zarazem jednak $1\in Q$, czyli $1\notin R\backslash Q$, czyli $R\backslash Q$ otwarty, czyli $Q$ domknięty.
Stąd $Q$ otwarto-domknięty (symbolicznie $Q \in \tau \cap \sigma$)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj