Topologia, zadanie nr 1070
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
mat12 post贸w: 221 |  2013-02-11 11:40:541) W zbiorze $\mathbb{R}$ definiujemy topologi臋 $\tau$ w nast臋puj膮cy spos贸b: $A\in \tau\iff 1\notin A $ lub $ 0\in A$ A.Czy $(\mathbb{R},\tau)$ jest $T_{1}$-przestrzeni膮? B.Czy $(\mathbb{R},\tau)$ jest przestrzeni膮 o艣rodkow膮? C.Czy $\mathbb{Q}\in \tau\cap \sigma$ ? D.Czy $\tau$ zaw臋偶one do przedzia艂u (1,2) jest topologi膮 dyskretn膮? odpowiedzi to: A.nie B.nie C.tak D.tak 2) Rozwa偶my $(\mathbb{R},\tau_{n})$,gdzie $\tau_{n}$ oznacza topologi臋 naturaln膮. Niech A= {$\frac{(-1)^k}{2^k};k\in \mathbb{N_{1}}$}$\cup ${$0$} , B= (0,1) \ {$\frac{1}{k}; k\in\mathbb{N_{2}}$}. A.Czy int A= $\emptyset$? B.Czy A jest zbiorem zwartym? C.Czy B jest zbiorem sp贸jnym? D.Czy cl(B) jest zbiorem sp贸jnym? odpowiedzi to: A.tak B.tak C.nie D.tak jest kto艣 kto umia艂by uzasadni膰 te odp(czemu tak a nie inaczej:)) bardzo prosz臋:) z g贸ry dzi臋kuj臋 Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2013-02-11 13:37:25 przez mat12 |
tumor post贸w: 8070 | 2013-02-11 13:18:04 1. A. Dla $x=1, y=0$ nie da si臋 znale藕膰 zbioru otwartego $U$ takiego, 偶e $x\in U$ oraz $y\notin U$. Na pewno bowiem je艣li $x\in U$ to $1\in U$, skoro $U$ otwarty to $0\in U$, zatem $y\in U$. Nie jest spe艂niony warunek $T_1$ B. Pytamy, czy istnieje przeliczalny podzbi贸r w $R$, kt贸ry jest g臋sty w sensie tej topologii, czyli kt贸ry po domkni臋ciu da ca艂y zbi贸r $R$. Niech $A\subset R$ b臋dzie zbiorem przeliczalnym. Zbi贸r $B=A\cup\{1\}$ jest domkni臋ty, bo $R\backslash B$ jest otwarty. Zarazem $B$ jest przeliczalny. Oraz $A\subset B$, czyli $cl A\subset cl B=B\neq R$. Nie istnieje zbi贸r przeliczalny, kt贸ry jest g臋sty. Inaczej to samo: Niech A b臋dzie zbiorem przeliczalnym. W贸wczas istnieje liczba rzeczywista $x$ r贸偶na od 1 taka, 偶e $x\notin A$. Zbi贸r $\{x\}$ jest otwarty, bo $1\notin \{x\}$ i roz艂膮czny z A, zatem A nie jest g臋sty. B臋dziesz mie膰 tego wi臋cej? Podstawy topologii s膮 ciekawsze od podstaw algebry :P |
tumor post贸w: 8070 | 2013-02-11 13:28:19 1. C. zdefiniuj $\sigma$. Nie definiowa膰 mo偶na je艣li si臋 przez jaki艣 czas robi to samo na zaj臋ciach, ale przedstawiaj膮c komu艣 pisz, co znacz膮 symbole. D. We藕my $A\subset(1,2)$. $A\in \tau$, bo $1\notin A$. I tyle. Nie trzeba robi膰 przekroj贸w, topologii dziedziczonej i innych dziwnych rzeczy, bo po prostu $P(A)\subset \tau$. 2. A. W topologii naturalnej na $R$ zbiory przeliczalne niepuste nie s膮 otwarte. Niepusty zbi贸r otwarty mo偶na traktowa膰 jak sum臋 kul otwartych czy zbior贸w bazowych (jak mieli艣cie wprowadzan膮 topologi臋 naturaln膮 na $R$?), ka偶dy taki zbi贸r jest nieprzeliczalny. W tym konkretnym przypadku mo偶na te偶 pokaza膰, 偶e w dowolnym otoczeniu dowolnego $x\in A$ znajduj膮 si臋 punkty spoza zbioru $A$. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-02-11 13:49:52 2. B. Je艣li $x=0$, to ka偶de otoczenie V punktu x zawiera prawie wszystkie elementy zbioru A (wszystkie poza najwy偶ej sko艅czon膮 ilo艣ci膮). W szczeg贸lno艣ci kule otwarte w metryce euklidesowej o 艣rodku w 0 i dowolnym dodatnim promieniu spe艂niaj膮 ten warunek. Je艣li P jest pokryciem otwartym zbioru A, to istnieje otwarty zbi贸r V taki, 偶e $0\in V\in P$. W贸wczas jedynie sko艅czona ilo艣膰 punkt贸w $x$ nale偶膮cych do $A$ jest poza $V$, dla ka偶dego z nich istnieje otoczenie $U_x\in P$. Otrzymujemy podpokrycie sko艅czone. Je艣li zwarto艣膰 by艂a zdefiniowana inaczej, ci膮gami, to bierzemy dowolny ci膮g element贸w z A i pokazujemy, 偶e albo istnieje podci膮g sta艂y (zbie偶ny), albo istnieje podci膮g zbie偶ny do 0 (te偶, oczywi艣cie, zbie偶ny :P). C. mamy $x_0=\frac{1}{13101307}\notin B$ Zbiory $(0,x_0)$ i $(x_0,1)$ s膮 domkni臋to-otwarte w B. D. We藕my $x=\frac{1}{k}$, $k\in N_1$ (zauwa偶, nie wzi膮艂em $N_2$) Wtedy dowolne otoczenie punktu $x$ zawiera elementy zbioru $B$, czyli $x\in cl B$. Podobnie si臋 dzieje, je艣li $x=0$. Zatem $B\subset [0,1]\subset cl B$, oraz $[0,1]$ domkni臋ty, czyli $[0,1]=cl B$, a to zbi贸r sp贸jny |
mat12 post贸w: 221 | 2013-02-11 14:19:18 ogromnie dzi臋kuj臋.tak si臋 sk艂ada 偶e b臋d臋 mia艂a jeszcze troch臋 takich zada艅:) |
mat12 post贸w: 221 | 2013-02-11 17:23:02 w 1) C. $\sigma$ oznacza rodzin臋 zbior贸w domkni臋tych w topologii (tutaj ($\mathbb{R},\tau$)) |
tumor post贸w: 8070 | 2013-02-11 17:29:40 C. $0\in Q$, zatem $Q$ jest otwarty, $Q\in \tau$ Zarazem jednak $1\in Q$, czyli $1\notin R\backslash Q$, czyli $R\backslash Q$ otwarty, czyli $Q$ domkni臋ty. St膮d $Q$ otwarto-domkni臋ty (symbolicznie $Q \in \tau \cap \sigma$) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj