Topologia, zadanie nr 1073
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
mat12 post贸w: 221 |  2013-02-11 16:40:24W $\mathbb{R^2}$rozwa偶amy topologi臋 produktow膮 pochodz膮c膮 od $\tau_{n}$. Niech $A_{n}$ ={$(x,y) : x\in[0,1), y=\frac{1}{n}x$} i niech A= $\bigcup_{n\in \mathbb{N_{1}}} A_{n}$. A.Czy A jest sp贸jny? B.Czy A jest 艂ukowo sp贸jny? C.Czy cl(int A) = cl(A)? D.Czy cl(A) jest zwarty? odpowiedzi to: A.tak B.tak C.nie D.tak |
mat12 post贸w: 221 | 2013-02-11 18:06:54 jest tw.偶e je艣li przestrze艅 jest 艂ukowo sp贸jna to jest te偶 sp贸jna. mam napisane 偶e $(\mathbb{R},\tau_{n})$ jest 艂ukowo sp贸jna wi臋c pewnie tak偶e zbi贸r A z $\mathbb{R^{2}}$ z topologi膮 pochodzac膮 od $\tau_{n}$ jest 艂ukowo sp贸jny wi臋c r贸wnie偶 sp贸jny. mo偶na to tak rozumowa膰? w C. int A=A wtedy i tylko wtedy gdy A nale偶y do topologii naturalnej,a tutaj A to suma zbior贸w kt贸re nie nale偶膮 do top.naturalnej wi臋c nie zachodzi 偶膮dana r贸wno艣膰 w C. w D. cl(A)b臋dzie r贸wne $\mathbb{R}$? |
tumor post贸w: 8070 | 2013-02-14 22:55:02 Mog艂aby艣 powiedzie膰, jak膮 mia艂a艣 (dok艂adnie) definicj臋 艂ukowej sp贸jno艣ci. $A$ to taki grzebyk z coraz g臋stszymi z臋bami. Je艣li we藕miemy dwa punkty nale偶膮ce do $A$ to 艂atwo je po艂膮czy膰 drog膮 homeomorficzn膮 z odcinkiem $[0,1]$. Zatem rzeczywi艣cie B. Tak. Je艣li przestrze艅 jest sp贸jna 艂ukowo, to musi by膰 sp贸jna, to wynika z w艂asno艣ci funkcji ci膮g艂ych i sp贸jno艣ci. Zatem A. Tak. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-02-14 23:11:55 Dodam, 偶e w A i B zastanawiamy si臋, czy zbi贸r $A$ jest sp贸jny. Twoja argumentacja pozwala pokaza膰, 偶e przestrze艅 $R^2$ jest 艂ukowo sp贸jna (jako iloczyn kartezja艅ski dw贸ch przestrzeni 艂ukowo sp贸jnych). Ale wcale nie wiemy, czy ka偶dy zbi贸r tej przestrzeni jest 艂ukowo sp贸jny (nie jest!!). Zatem trzeba si臋 przyjrze膰 samemu zbiorowi $A$. C. Argumentacja NIE JEST dobra. $A$ jest sum膮 zbior贸w, kt贸re nie nale偶膮 do topologii. Prawda. Ale to nie oznacza, 偶e NIE JEST sum膮 zbior贸w, kt贸re do topologii nale偶膮. :) Zbi贸r $B=(0,1)$ jest sum膮 zbior贸w $B\backslash Q $ i $B\cap Q$, oba nie nale偶膮 do topologii naturalnej w $R$, a jednak $B$ jest otwarty w $R$, czyli $B=int B$. :) To taki przyk艂ad, 偶e argumentacja jest z艂a. Czytasz w og贸le takie moje dygresje czy tylko odpowiedzi spisujesz? Je艣li bierzemy iloczyn kartezja艅ski sko艅czenie wielu przestrzeni topologicznych, to baz膮 topologii produktowej s膮 iloczyny kartezja艅skie zbior贸w bazowych wyj艣ciowych topologii. Czyli w tym przypadku zbiorami bazowymi s膮 $B_1\times B_2$, gdzie $B_1, B_2$ s膮 bazowe w R z topologi膮 naturaln膮 (czyli mo偶emy tu wzi膮膰 na przyk艂ad przedzia艂y o ko艅cach wymiernych, to do艣膰 oczywista baza $R$). Zastan贸wmy si臋 jaki jest zbi贸r $int A$. Widzimy, jak wygl膮da $A$. Sk艂ada si臋 z odcink贸w. Odcinki s膮 g臋ste z jednej strony, ale przecie偶 mi臋dzy ka偶dymi dwoma jest szpara. :) 艁膮cz膮 si臋 tylko jednym ko艅cem w $(0,0)$. Je艣li we藕miemy jaki艣 $x\in A$ i zbi贸r bazowy (kwadracik) zawieraj膮cy $x$, to ten zbi贸r bazowy na pewno wyjdzie poza $A$. Zatem $A$ nie jest nadzbiorem 偶adnego niepustego zbioru bazowego, czyli $int A=\emptyset$. Skoro tak, to $cl(int A)=\emptyset\neq A \subset cl A$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-02-14 23:21:05 D. Nie jest prawd膮, 偶e $cl A=R$ We藕 zbi贸r $C=\{(x,y): -1\le x\le 3, -1\le y\le 3\}$ $C$ jest domkni臋ty oraz $A\subset C$, czyli tak偶e $cl A\subset C$ $cl A$ jest zatem nie tylko domkni臋ty (jako domkni臋cie), ale i ograniczony, co w $R^n$ wystarcza do zwarto艣ci. ----- Og贸lnie powinna艣 si臋 orientowa膰, 偶e na p艂aszczy藕nie \"wielok膮t z brzegiem\" jest zbiorem domkni臋tym w topologii naturalnej, a \"wielok膮t bez brzegu\" zbiorem otwartym. Dlatego wy偶ej napisa艂em \"kwadraciki\", bo iloczyn kartezja艅ski przedzia艂贸w otwartych ma graficzn膮 posta膰 kwadratu bez brzegu. Zbi贸r $C$ to kwadrat z brzegiem. Dow贸d domkni臋to艣ci/otwarto艣ci jest do艣膰 oczywisty, wi臋c go nie pisz臋. :) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj