Topologia, zadanie nr 1076
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| mat12 postów: 221 |  2013-02-11 19:24:36W $\mathbb{R^{2}}$ rozważamy topologię wyznaczoną przez metrykę euklidesową. A.Czy zbiór A={(x,y)$\in \mathbb{R^{2}}; 3|x|+|y|\le 1$} jest zwarty? B.Czy zbiór B={(x,y)$\in \mathbb{R^{2}}; |y|<|x|$ jest otwarty? C.Czy zbiór C={(x,y)$\in \mathbb{R^{2}}; xy=1$} jest domknięty? D.Czy zbiór D={(x,y)$\in \mathbb{R^{2}}; x\in \mathbb{Z} lub y=0 $} jest spójny? tutaj wszystkie odpowiedzi to TAK. ale nie wiem bardzo nawet z czego skorzystać aby to wykazać tutaj:) proszę o wyrozumiałość:) |
| tumor postów: 8070 | 2013-02-16 11:13:56 A. Zwarte są zbiory domknięte i ograniczone. Ograniczoność tego zbioru bije w oczy. Pokażemy domkniętość (która też bije w oczy :P) Weźmy punkt $(a,b)$ nie należący do $A$. Czyli $3|a|+|b|>1$. Możemy się ograniczyć do pierwszej ćwiartki, bo obszar jest symetryczny. Czyli $a,b\ge 0$ oraz $3a+b=1+\epsilon$ dla pewnego $\epsilon>0$. Odległość punktu $(a,b)$ od prostej $3a+b=1$ jest równa $\delta>0$. Potem jakaś kula otwarta i nudy.. |
| tumor postów: 8070 | 2013-02-16 11:25:40 B. Weźmy $(a,b)$ taki, że $|b|<|a|$. Niech $\epsilon=\frac{|a|-|b|}{2}$. Wszystkie punkty $(z,t)\in K((a,b),\epsilon)$ spełniają $|t|<|z|$ (prosta geometria :P), czyli dla każdego punktu z $B$ istnieje jego otoczenie otwarte zawarte w $B$, co oznacza, że $B$ otwarty. Skądinąd chyba dowodziliście równoważności kilku metryk z euklidesową. Można zatem, choć zadanie mówi o euklidesowej, użyć którejś równoważnej. Tu taksówkowa ładnie by zadziałała. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj