Topologia, zadanie nr 1077
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
mat12 post贸w: 221 |  2013-02-11 19:49:05Rozwa偶my ($\mathbb{R},\tau_{n}$) , gdzie $\tau_{n}$ oznacza topologi臋 naturaln膮. Niech Z={$\frac{k+1}{k}; k\in \mathbb{N_{1}}$}$\cup${1}. A.Czy Z jest zbiorem sp贸jnym? B.Czy {1} jest otwarty w Z? C.Czy {1} jest domkni臋ty w Z? D.Czy {$\frac{5}{4}$} jest otwarty w Z? odpowiedzi to: A.nie B.nie C.tak D.tak A. nie jest sp贸jna bo Z mo偶na przedstawi膰 w postaci sumy dw贸ch zbior贸w niepustych,otwartych(nale偶膮cych do topologii)i roz艂膮cznych. co do pozosta艂ych to nie mam pomys艂u poza tym 偶e 1 i 5/4 nale偶膮 do Z. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-02-11 20:44:41 A. Dobrze m贸wisz. Skoro mo偶na, to najlepiej to zrobi膰. $G=(-\infty, \frac{5}{4})\cap Z$, $H=Z \backslash G$ $G$ i $H$ s膮 niepuste otwarte i roz艂膮czne. B. W punkcie wy偶ej tak 艂atwo powiedzia艂em, 偶e $G$ i $H$ s膮 otwarte, ale trzeba umie膰 poda膰 jakie艣 zbiory otwarte w $R,\tau_n$, roz艂膮czne, kt贸rych przekroje z $Z$ b臋d膮 niepuste i b臋d膮 si臋 sumowa艂y do $Z$. A teraz zastan贸wmy si臋, czy umiemy poda膰 otoczenie otwarte $U$ punktu $1$ w $R$ takie, 偶eby $U\cap Z=\{1\}.$ Nie umiemy. A jeszcze by to trzeba pokaza膰. :) Niech $U$ b臋dzie dowolnym otoczeniem otwartym punktu $1$ w $R$. Wtedy istnieje $\epsilon>0$, 偶e $K(1,\epsilon)\subset U$. Zauwa偶my, 偶e skoro $\lim_{k \to \infty}\frac{k+1}{k}=1$, to w takiej kuli otwartej na pewno znajduje si臋 niesko艅czenie wiele element贸w zbioru $Z$. A $U$ wybrali艣my dowolnie. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-02-11 20:54:07 C. Zbiory jednopunktowe s膮 domkni臋te w $R,\tau_n$, bo zbiory $(-\infty,x_0)$ i $(x_0,\infty) $ s膮 otwarte i ich suma jest otwarta. Zatem i w $Z$ zbiory jednopunktowe s膮 domkni臋te. D. Analogicznie do podpunktu B poszukamy zbioru $U$ otwartego w $R$, takiego, 偶e $U\cap Z=\{\frac{5}{4}\}$. Tym razem si臋 uda. Nie chce mi si臋 sprowadza膰 do wsp贸lnego mianownika, wi臋c zaszalej臋, niech to b臋dzie $(\frac{5}{4}-\epsilon, \frac{5}{4}+\epsilon)$ dla $\epsilon=\left((9^9)^{(9^9)}\right)^{-9^9}$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj