Topologia, zadanie nr 1080

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mat12 postów: 221	2013-02-12 11:22:47 Na zbiorze liczb rzeczywistych rozważmy topologię $\tau:=${$\emptyset,\mathbb{R}$}$\cup${$(a,\infty);a\in \mathbb{R}$}. Niech A = {$\frac{1}{k};k\in \mathbb{N_{1}}$}. A.Czy rodzina {$(q,\infty) ;q\in \mathbb{Q}$} jest bazą $\tau$? B.Czy dla dowolnego $x\in \mathbb{R}$ rodzina {$[x,x+\frac{1}{n} : n\in \mathbb{N_{1}})$} jest bazą otoczeń punktu x? C.Czy cl(A)= $\mathbb{R}$? D.Czy cl(int A)= $\emptyset$? odpowiedzi to: A.tak B.nie C.nie D.tak A. Rodzinę $\beta$ naz.bazą topologii $\tau$, jeśli dla każdego zbioru A należącego do $\tau$ istnieje rodzina {$U_{i}$}$_{i\in I}$$\subset \beta$: A=$\bigcup_{i\in I} U_{i}$. a tutaj każdy zbiór z $\tau$ da się zapisać za pomocą sumy zbiorów zawartych w bazie B. Rodzinę $\beta(x)$ naz.bazą otoczeń punktu x, jeśli dla każdego zbioru A należącego do $\tau(x)$ istnieje U należący do $\beta(x)$: $U\subset A$. a tutaj biorąc przedział $ [1,2) $ z bazy otoczeń to ten przedział zawiera się w $ \mathbb{R}$,ale nie zawiera się w $\emptyset$ i nie musi zawierać się w przedziale $(a,\infty)$ (jak a=3) C. zbiór A będzie zawierał się w przedziale $(-\infty,a]$ i jest to najmniejszy zbiór domknięty zawierający A.,więc domknięciem A będzie ten przedział. D. zbiorem z topologii zawierającym się w A jest zbiór pusty więc int A= $\emptyset$ a cl($\emptyset$)= $\emptyset$

tumor postów: 8070	2013-02-13 13:04:00 A. Dokładnie tak. Korzystamy z faktu, że każda liczba niewymierna jest granicą pewnego ciągu (w szczególności: malejącego) liczb wymiernych. B. $\tau(x)$ zapewne oznacza wszystkie zbiory otwarte, do których należy $x$. Zdecydowanie nie można powiedzieć, żeby $\emptyset \in \tau(x)$, podobnie nie o wszystkich zbiorach $(a,\infty)$ można to powiedzieć. Zatem argumentacja jest do bani. Rozpatrywana rodzina nie jest bazą otoczeń, bo zbiory tej rodziny nie są otoczeniami. Pozostałe warunki są spełnione: Weźmy zbiór otwarty $A$ taki, że $x\in A$. Wtedy $A$ jest równy $R$ albo jest postaci $(a,\infty)$ gdzie $a<x$, skoro $x\in A$. Niech $U=[x,x+1)$, widzimy, że $U\subset A$ w obu powyższych przypadkach. Ale właśnie problemem jest to, że te zbiory nie są otoczeniami punktu $x$. Prawdą jest, że $x\in U$, ale to jeszcze nie znaczy, że $U$ jest otoczeniem $x$. Jeśli $U$ jest otoczeniem $x$, to powinien istnieć zbiór otwarty $V$ taki, że $x\in V\subset U$. W przypadku tej rodziny tak nie jest, to w ogóle nie są otoczenia w sensie tej topologii. (Przypominasz definicje. To istotne. Ale czy naprawdę przypomniałaś tę definicję ściśle? Bo jeśli miałaś na wykładzie taką definicję, jak podajesz, że bazę otoczeń tworzą dowolne zbiory spełniające warunek (a nie otoczenia we wspomnianym przeze mnie rozumieniu), to odpowiedź w zadaniu chyba będzie "tak".)

tumor postów: 8070	2013-02-13 13:21:01 C.D. Mamy $A\subset [0,1]\subset (-\infty,1]$. $(1,\infty)$ jest otwarty, czyli $(-\infty,1]$ jest domknięty, zatem $cl A \subset (-\infty,1]$, czyli na pewno nie jest $R$. Twoja argumentacja jest słuszna, tylko warto konkretniej napisać, o jakie chodzi $a$. Tu można przecież jasno podać przykład, a nie tylko, że jakiś istnieje. :) Dość łatwo też zauważyć, że żaden niepusty zbiór otwarty nie jest podzbiorem $A$ (choćby dlatego, że niepuste zbiory otwarte są w tej topologii nieprzeliczalne, a $A$ jest przeliczalny). Zatem $int A=\emptyset$. Oczywiście $cl \emptyset = \emptyset$. Twoja argumentacja jest słuszna, choć brakuje słowa "jedyny". Zbiór pusty jest jedynym otwartym podzbiorem zbioru $A$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj