Topologia, zadanie nr 1080
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
mat12 post贸w: 221 |  2013-02-12 11:22:47Na zbiorze liczb rzeczywistych rozwa偶my topologi臋 $\tau:=${$\emptyset,\mathbb{R}$}$\cup${$(a,\infty);a\in \mathbb{R}$}. Niech A = {$\frac{1}{k};k\in \mathbb{N_{1}}$}. A.Czy rodzina {$(q,\infty) ;q\in \mathbb{Q}$} jest baz膮 $\tau$? B.Czy dla dowolnego $x\in \mathbb{R}$ rodzina {$[x,x+\frac{1}{n} : n\in \mathbb{N_{1}})$} jest baz膮 otocze艅 punktu x? C.Czy cl(A)= $\mathbb{R}$? D.Czy cl(int A)= $\emptyset$? odpowiedzi to: A.tak B.nie C.nie D.tak A. Rodzin臋 $\beta$ naz.baz膮 topologii $\tau$, je艣li dla ka偶dego zbioru A nale偶膮cego do $\tau$ istnieje rodzina {$U_{i}$}$_{i\in I}$$\subset \beta$: A=$\bigcup_{i\in I} U_{i}$. a tutaj ka偶dy zbi贸r z $\tau$ da si臋 zapisa膰 za pomoc膮 sumy zbior贸w zawartych w bazie B. Rodzin臋 $\beta(x)$ naz.baz膮 otocze艅 punktu x, je艣li dla ka偶dego zbioru A nale偶膮cego do $\tau(x)$ istnieje U nale偶膮cy do $\beta(x)$: $U\subset A$. a tutaj bior膮c przedzia艂 $ [1,2) $ z bazy otocze艅 to ten przedzia艂 zawiera si臋 w $ \mathbb{R}$,ale nie zawiera si臋 w $\emptyset$ i nie musi zawiera膰 si臋 w przedziale $(a,\infty)$ (jak a=3) C. zbi贸r A b臋dzie zawiera艂 si臋 w przedziale $(-\infty,a]$ i jest to najmniejszy zbi贸r domkni臋ty zawieraj膮cy A.,wi臋c domkni臋ciem A b臋dzie ten przedzia艂. D. zbiorem z topologii zawieraj膮cym si臋 w A jest zbi贸r pusty wi臋c int A= $\emptyset$ a cl($\emptyset$)= $\emptyset$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-02-13 13:04:00 A. Dok艂adnie tak. Korzystamy z faktu, 偶e ka偶da liczba niewymierna jest granic膮 pewnego ci膮gu (w szczeg贸lno艣ci: malej膮cego) liczb wymiernych. B. $\tau(x)$ zapewne oznacza wszystkie zbiory otwarte, do kt贸rych nale偶y $x$. Zdecydowanie nie mo偶na powiedzie膰, 偶eby $\emptyset \in \tau(x)$, podobnie nie o wszystkich zbiorach $(a,\infty)$ mo偶na to powiedzie膰. Zatem argumentacja jest do bani. Rozpatrywana rodzina nie jest baz膮 otocze艅, bo zbiory tej rodziny nie s膮 otoczeniami. Pozosta艂e warunki s膮 spe艂nione: We藕my zbi贸r otwarty $A$ taki, 偶e $x\in A$. Wtedy $A$ jest r贸wny $R$ albo jest postaci $(a,\infty)$ gdzie $a<x$, skoro $x\in A$. Niech $U=[x,x+1)$, widzimy, 偶e $U\subset A$ w obu powy偶szych przypadkach. Ale w艂a艣nie problemem jest to, 偶e te zbiory nie s膮 otoczeniami punktu $x$. Prawd膮 jest, 偶e $x\in U$, ale to jeszcze nie znaczy, 偶e $U$ jest otoczeniem $x$. Je艣li $U$ jest otoczeniem $x$, to powinien istnie膰 zbi贸r otwarty $V$ taki, 偶e $x\in V\subset U$. W przypadku tej rodziny tak nie jest, to w og贸le nie s膮 otoczenia w sensie tej topologii. (Przypominasz definicje. To istotne. Ale czy naprawd臋 przypomnia艂a艣 t臋 definicj臋 艣ci艣le? Bo je艣li mia艂a艣 na wyk艂adzie tak膮 definicj臋, jak podajesz, 偶e baz臋 otocze艅 tworz膮 dowolne zbiory spe艂niaj膮ce warunek (a nie otoczenia we wspomnianym przeze mnie rozumieniu), to odpowied藕 w zadaniu chyba b臋dzie \"tak\".) |
tumor post贸w: 8070 | 2013-02-13 13:21:01 C.D. Mamy $A\subset [0,1]\subset (-\infty,1]$. $(1,\infty)$ jest otwarty, czyli $(-\infty,1]$ jest domkni臋ty, zatem $cl A \subset (-\infty,1]$, czyli na pewno nie jest $R$. Twoja argumentacja jest s艂uszna, tylko warto konkretniej napisa膰, o jakie chodzi $a$. Tu mo偶na przecie偶 jasno poda膰 przyk艂ad, a nie tylko, 偶e jaki艣 istnieje. :) Do艣膰 艂atwo te偶 zauwa偶y膰, 偶e 偶aden niepusty zbi贸r otwarty nie jest podzbiorem $A$ (cho膰by dlatego, 偶e niepuste zbiory otwarte s膮 w tej topologii nieprzeliczalne, a $A$ jest przeliczalny). Zatem $int A=\emptyset$. Oczywi艣cie $cl \emptyset = \emptyset$. Twoja argumentacja jest s艂uszna, cho膰 brakuje s艂owa \"jedyny\". Zbi贸r pusty jest jedynym otwartym podzbiorem zbioru $A$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj