Algebra, zadanie nr 1095

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mat12 postów: 221	2013-02-13 15:56:35 Niech $(X,\varrho)$ będzie dowolną przestrzenią metryczną , niech A będzie niepustym podzbiorem X i niech $x\in X$. A.Czy stąd, że $x\in$cl(A) wynika ,że inf{$\varrho(x,a); a\in A$}=0? B.Czy stąd, że dla każdego $n\in\mathbb{N_{1}}$ $K(x,\frac{1}{n})\cap A\neq\emptyset$ wynika, że $x\in A$? C.Czy zbiór {$a\in A ; \varrho(x,a)\le 1$} jest domknięty w A? D.Czy jeśli istnieje ciąg elementów zbioru A, zbieżny do x, to $x\in \partial A$? $\partial A$ oznacza brzeg zbioru A definiowany jako cl(A) \ int(A) lub cl(A)$\cap$cl(X \ A) odpowiedzi to: A.tak B.nie C.tak D.nie A. $(X,\varrho)$-przestrzeń metryczna $A\subset X$ ozn.$\varrho_{A}(x)= \left\{\begin{matrix} 1, A= \emptyset \\ inf{\varrho(x,a):a\in A}, A\neq \emptyset \end{matrix}\right.$ obserwacja: x$\in$cl(A)$\iff$$\varrho_{A}(x)= 0$ gdy A$\neq\emptyset$ czyli wszystko jasne. w pozostałych nie mam pomysłu proszę o pomoc:) i dziękuję Wiadomość była modyfikowana 2013-02-13 18:58:04 przez mat12

tumor postów: 8070	2013-02-13 17:07:57 A. Wydaje mi się, że właśnie w zadaniu A trzeba POKAZAĆ, że ta obserwacja jest słuszna. :) Bo równie dobrze możesz powiedzieć, że NA OKO odpowiedzi są takie, jakie są. Że to widać :P Ale popatrzmy tak. Gdyby $inf\{\varrho(x,a): a\in A\}>0$, to by oznaczało, że istnieje $\epsilon>0$ taki, że dla każdego $a\in A$ mamy $\varrho(a,x)>\epsilon$, czyli istniałaby kula otwarta $K(x,\epsilon) $ rozłączna z $A$. To oznacza, że $x$ nie byłby w $cl A$. (Dokładne rozwiązanie wymaga przedstawienia, jak miałaś definiowane zbiory domknięte, domknięcia. Natomiast Twoje wyjaśnienie jest w zasadzie równoważnym problemem do tego w zadaniu. Tylko używasz odległości punktu od zbioru, którą się tak definiuje.)

mat12 postów: 221	2013-02-13 17:25:08 $\delta$- rodzina zbiorów domkniętych w przestrzeni $(X,\tau)$ C$\in \delta \iff X \backslash C \in \tau$ a domknięcie zbioru A cl(A):= $\bigcap${$C \in \delta:A\subset C$}$\in \delta$

tumor postów: 8070	2013-02-13 17:39:18 B. Warunek z zadania jest równoważny nie $x\in A$, ale $x\in cl A$. Łatwo podać kontrprzykład, wystarczy $A=(0,1)$ i $x=0$, więc już odpowiedź brzmi nie. Ale można pomyśleć więcej: Skoro wszystkie kule o promieniach $\frac{1}{n}$ i środku $x$ mają niepusty przekrój z $A$, to w ogóle wszystkie kule o dodatnich promieniach i środku w $x$ mają niepusty przekrój z $A$. Czyli $x\notin int(X\backslash A)$, czyli $x\in cl A$

tumor postów: 8070	2013-02-13 18:27:15 C. Co tam znaczy $\varrho$? Bo jeśli to jakaś odległość, to trzeba napisać czego z czym. To naprawdę się ciężko czyta, gdy trzeba się domyślać. D. Już z definicji mamy, że $\partial A\cap int A=\emptyset$. Wystarczy zatem, że $x\in int A$. Wtedy ciąg $x_n=x$ jest ciągiem elementów zbioru $A$ zbieżnym do $x$ i oczywiście $x\notin \partial A$. Można też po prostu podać jakiś konkretny przykład.

mat12 postów: 221	2013-02-13 18:54:38 tak w C.nie jest to dobrze napisane.poprawię:)

tumor postów: 8070	2013-02-16 10:56:48 C. Kule domknięte są domknięte w $X$. Ustalmy $x\in X$ i $\epsilon>0$ Niech bowiem $F=\{y\in X: \varrho(x,y)\le \epsilon\}$ Jeśli $F=X$, to $F$ domknięty. Jeśli $F\neq X$, to istnieje $z\in X\backslash F$. Wtedy $\varrho(x,z)>\epsilon$. Niech $\delta=\frac{\varrho(x,z)-\epsilon}{2}$. Wówczas $K(z,\delta)$ jest rozłączna z $F$ (co można jeszcze łopatologicznie sprawdzić z warunku trójkąta w przestrzeni metrycznej), oczywiście $z$ do tej kuli należy, czyli z dowolności wyboru $z$ mamy $F`$ otwarty, czyli $F$ domknięty. W zadaniu bierzemy $F\cap A$. Skoro jednak z definicji topologii w $A$ mamy, że $F`\cap A$ jest otwarty, to $F\cap A$ jest domknięty. No i $\epsilon$ zadany jest konkretny, ale czy tam jest $1$ czy inna dodatnia liczba, to bez znaczenia.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj