Algebra, zadanie nr 1095
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
mat12 post贸w: 221 |  2013-02-13 15:56:35Niech $(X,\varrho)$ b臋dzie dowoln膮 przestrzeni膮 metryczn膮 , niech A b臋dzie niepustym podzbiorem X i niech $x\in X$. A.Czy st膮d, 偶e $x\in$cl(A) wynika ,偶e inf{$\varrho(x,a); a\in A$}=0? B.Czy st膮d, 偶e dla ka偶dego $n\in\mathbb{N_{1}}$ $K(x,\frac{1}{n})\cap A\neq\emptyset$ wynika, 偶e $x\in A$? C.Czy zbi贸r {$a\in A ; \varrho(x,a)\le 1$} jest domkni臋ty w A? D.Czy je艣li istnieje ci膮g element贸w zbioru A, zbie偶ny do x, to $x\in \partial A$? $\partial A$ oznacza brzeg zbioru A definiowany jako cl(A) \ int(A) lub cl(A)$\cap$cl(X \ A) odpowiedzi to: A.tak B.nie C.tak D.nie A. $(X,\varrho)$-przestrze艅 metryczna $A\subset X$ ozn.$\varrho_{A}(x)= \left\{\begin{matrix} 1, A= \emptyset \\ inf{\varrho(x,a):a\in A}, A\neq \emptyset \end{matrix}\right.$ obserwacja: x$\in$cl(A)$\iff$$\varrho_{A}(x)= 0$ gdy A$\neq\emptyset$ czyli wszystko jasne. w pozosta艂ych nie mam pomys艂u prosz臋 o pomoc:) i dzi臋kuj臋 Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2013-02-13 18:58:04 przez mat12 |
tumor post贸w: 8070 | 2013-02-13 17:07:57 A. Wydaje mi si臋, 偶e w艂a艣nie w zadaniu A trzeba POKAZA膯, 偶e ta obserwacja jest s艂uszna. :) Bo r贸wnie dobrze mo偶esz powiedzie膰, 偶e NA OKO odpowiedzi s膮 takie, jakie s膮. 呕e to wida膰 :P Ale popatrzmy tak. Gdyby $inf\{\varrho(x,a): a\in A\}>0$, to by oznacza艂o, 偶e istnieje $\epsilon>0$ taki, 偶e dla ka偶dego $a\in A$ mamy $\varrho(a,x)>\epsilon$, czyli istnia艂aby kula otwarta $K(x,\epsilon) $ roz艂膮czna z $A$. To oznacza, 偶e $x$ nie by艂by w $cl A$. (Dok艂adne rozwi膮zanie wymaga przedstawienia, jak mia艂a艣 definiowane zbiory domkni臋te, domkni臋cia. Natomiast Twoje wyja艣nienie jest w zasadzie r贸wnowa偶nym problemem do tego w zadaniu. Tylko u偶ywasz odleg艂o艣ci punktu od zbioru, kt贸r膮 si臋 tak definiuje.) |
mat12 post贸w: 221 | 2013-02-13 17:25:08 $\delta$- rodzina zbior贸w domkni臋tych w przestrzeni $(X,\tau)$ C$\in \delta \iff X \backslash C \in \tau$ a domkni臋cie zbioru A cl(A):= $\bigcap${$C \in \delta:A\subset C$}$\in \delta$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-02-13 17:39:18 B. Warunek z zadania jest r贸wnowa偶ny nie $x\in A$, ale $x\in cl A$. 艁atwo poda膰 kontrprzyk艂ad, wystarczy $A=(0,1)$ i $x=0$, wi臋c ju偶 odpowied藕 brzmi nie. Ale mo偶na pomy艣le膰 wi臋cej: Skoro wszystkie kule o promieniach $\frac{1}{n}$ i 艣rodku $x$ maj膮 niepusty przekr贸j z $A$, to w og贸le wszystkie kule o dodatnich promieniach i 艣rodku w $x$ maj膮 niepusty przekr贸j z $A$. Czyli $x\notin int(X\backslash A)$, czyli $x\in cl A$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-02-13 18:27:15 C. Co tam znaczy $\varrho$? Bo je艣li to jaka艣 odleg艂o艣膰, to trzeba napisa膰 czego z czym. To naprawd臋 si臋 ci臋偶ko czyta, gdy trzeba si臋 domy艣la膰. D. Ju偶 z definicji mamy, 偶e $\partial A\cap int A=\emptyset$. Wystarczy zatem, 偶e $x\in int A$. Wtedy ci膮g $x_n=x$ jest ci膮giem element贸w zbioru $A$ zbie偶nym do $x$ i oczywi艣cie $x\notin \partial A$. Mo偶na te偶 po prostu poda膰 jaki艣 konkretny przyk艂ad. |
mat12 post贸w: 221 | 2013-02-13 18:54:38 tak w C.nie jest to dobrze napisane.poprawi臋:) |
tumor post贸w: 8070 | 2013-02-16 10:56:48 C. Kule domkni臋te s膮 domkni臋te w $X$. Ustalmy $x\in X$ i $\epsilon>0$ Niech bowiem $F=\{y\in X: \varrho(x,y)\le \epsilon\}$ Je艣li $F=X$, to $F$ domkni臋ty. Je艣li $F\neq X$, to istnieje $z\in X\backslash F$. Wtedy $\varrho(x,z)>\epsilon$. Niech $\delta=\frac{\varrho(x,z)-\epsilon}{2}$. W贸wczas $K(z,\delta)$ jest roz艂膮czna z $F$ (co mo偶na jeszcze 艂opatologicznie sprawdzi膰 z warunku tr贸jk膮ta w przestrzeni metrycznej), oczywi艣cie $z$ do tej kuli nale偶y, czyli z dowolno艣ci wyboru $z$ mamy $F`$ otwarty, czyli $F$ domkni臋ty. W zadaniu bierzemy $F\cap A$. Skoro jednak z definicji topologii w $A$ mamy, 偶e $F`\cap A$ jest otwarty, to $F\cap A$ jest domkni臋ty. No i $\epsilon$ zadany jest konkretny, ale czy tam jest $1$ czy inna dodatnia liczba, to bez znaczenia. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj