Topologia, zadanie nr 1097
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
mat12 post贸w: 221 |  2013-02-13 18:51:57W $\mathbb{R^{2}}$ i w $\mathbb{R}$ rozwa偶amy metryki euklidesowe. Niech f : $(x,y)\in \mathbb{R^{2}} \rightarrow x^{2}\in \mathbb{R}$. A.Czy f jest ci膮g艂a? B.Czy f jest jednostajnie ci膮g艂a? C.Czy dla ka偶dego zbioru sp贸jnego $A\subset \mathbb{R^{2}}$ f(A) jest sp贸jny? D.Czy $f^{-1}$({9}) jest zwarty? odpowiedzi to: A.tak B.nie C.tak D.nie A.przeciwobraz zbioru otwartego jest otwarty B. Niech f: X$\rightarrow$Y (z metryk膮 odpowiednio $\varrho$ i $\varrho\'$) M贸wimy 偶e f jest jednostajnie ci膮g艂a, je艣li $\forall_{\epsilon>0}\exists_{\delta>0} \forall_{x,z\in X}$ $[\varrho(x,z)<\delta\Rightarrow \varrho\'(f(x),f(z))<\epsilon]$ C.obraz zbioru sp贸jnego jest sp贸jny gdy f jest ci膮g艂膮 surjekcj膮 a tutaj f jest ci膮g艂膮 surjekcj膮 ale nie iniekcj膮 D.przeciwobraz {9} to zbiory (3,y) oraz (-3,y)a te zbiory nie s膮 zwarte bo nie s膮 domkni臋te ale nie jestem tego wszystkiego pewna 偶e to dobrze jest:) prosz臋 o pomoc w doko艅czeniu tego:) |
mat12 post贸w: 221 | 2013-02-15 19:35:09 prosz臋 o pomoc jeszcze w tym zadaniu:) |
tumor post贸w: 8070 | 2013-02-15 21:40:52 M艂oda. Denerwujesz mnie tym przerzucaniem swojego zadania na g贸r臋. Coraz wi臋cej os贸b tak robi. Po pierwsze nie zawsze zerkn臋, kto odpisa艂, po prostu si臋 za zadania z odpowiedziami nie bior臋. Po drugie mnie to zwyczajnie denerwuje. Pomo偶e kto艣? Pomo偶e? pf. Zadania s膮 widoczne. Nie trzeba targu robi膰, czosnek 艣wie偶y, czosnek polski, tanio sprzedam! A. Sprawdzamy przeciwobrazy zbior贸w otwartych. Oczywi艣cie funkcja $g(x)=x^2$ jest ci膮g艂a. Niech $U\subset R$ otwarty. Wtedy $f^{-1}(U)=g^{-1}(U)\times R$, czyli otwarty. B. Podobnie jak wy偶ej wystarczy, 偶e g(x) jednostajnie ci膮g艂a nie jest. We藕my $a=(x,y)$, $b=(x+\delta, y)$. Oczywi艣cie odleg艂o艣膰 mi臋dzy tymi argumentami jest $\delta$. Ustalmy $\epsilon>0$ Liczba $\delta$ jest nieustalona, mo偶e by膰 dowolnie bliska zera, byle dodatnia. Poka偶emy, 偶e jaka by nie by艂a, nie jest odpowiednia dla naszego ustalonego $\epsilon$. ;) Bowiem $f(a)=x^2$, $f(b)=(x+\delta)^2=x^2+2\delta x+\delta^2$ czyli odleg艂o艣膰 $f(a)$ od $f(b)$ jest r贸wna $2\delta x+\delta^2$, co jest wi臋ksze ni偶 $\epsilon$ dla $x=\frac{\epsilon}{2\delta}$. Zatem niezale偶nie od wyboru $\epsilon>0$ nieprawd膮 jest, 偶e istnieje $\delta>0$ taka, 偶e spe艂niony jest warunek jednostajnej ci膮g艂o艣ci. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-02-16 10:21:16 C. Iniekcj膮 by膰 nie musi. Suriekcj膮 by膰 te偶 nie musi. :) Musi by膰 ci膮g艂a. Skoro jest ci膮g艂a, to obraz zbioru sp贸jnego jest sp贸jny. (Suriekcje sprawdzali艣my gdzie indziej. Mo偶e istnie膰 funkcja ze zbioru sp贸jnego W zbi贸r niesp贸jny, ale nie istnieje suriekcja ze sp贸jnego NA niesp贸jny. Tu interesuje nas tylko sp贸jno艣膰 obrazu, ta wynika z ci膮g艂o艣ci) |
tumor post贸w: 8070 | 2013-02-16 10:29:47 D. $A=f^{-1}(\{9\})=\{(x,y):x=\pm3, y\in R\}$ Innymi s艂owy ten przeciwobraz to w uk艂adzie kartezja艅skim dwie proste pionowe $x=3$ i $x=-3$. Jest to zbi贸r domkni臋ty, ale nie jest ograniczony, co utrudnia zwarto艣膰. :) Czyli z odpowiedniego twierdzenia ju偶 mamy co trzeba. Ale r贸wnie dobrze mo偶emy poda膰 pokrycie otwarte, kt贸re nie ma podpokrycia sko艅czonego. We藕my na przyk艂ad rodzin臋 $A\cap K((\pm 3, k),\frac{6}{11})$, dla $k \in Z$. Kul jest niesko艅czenie (przeliczalnie) wiele. 艢rodek ka偶dej kuli (po przeci臋ciu z $A$) nale偶y tylko do niej, zatem nic z pokrycia nie mo偶emy ju偶 usun膮膰. Nie istnieje podpokrycie sko艅czone. Dostajemy ju偶 jakie艣 pi膮tki za to? |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj