Topologia, zadanie nr 1103
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
mat12 post贸w: 221 |  2013-02-14 19:43:27Niech $\tau$ = {$\emptyset$}$\cup${$A\subset\mathbb{R} : \mathbb{R}\backslash A\subset \mathbb{Z}$}. A.Czy $(\mathbb{R},\tau)$ jest $T_{1}$- przestrzeni膮? B.Czy zbi贸r $\mathbb{N_{0}}$ jest domkni臋ty w $(\mathbb{R},\tau)$? C.Czy $(\mathbb{R},\tau)$ jest o艣rodkowa? D.Czy $(\mathbb{R},\tau)$ jest zwarta? odpowiedzi to: A.nie B.tak C.tak D.nie C. zbiorem przeliczalnym g臋stym, zawieraj膮cym si臋 w $\mathbb{R}$ b臋dzie $\mathbb{Q}$? w pozosta艂ych nie chc臋 pisa膰 g艂upot wi臋c prosz臋 o pomoc kogo艣 m膮drego:) z g贸ry dzi臋kuj臋 |
tumor post贸w: 8070 | 2013-02-14 21:10:38 Kogo艣, kogo艣. Par臋 os贸b tu pewnie wie, co to topologia, ale im si臋 nie chce. Wiadomo, 偶e ja odpowiem, bo zbieram na Juszkiewicza. A. Je艣li ju偶 wiesz, 偶e nie jest $T_1$, to szukasz po prostu kontrprzyk艂adu. Ale gdyby艣my tak odpowiedzi nie znali (mo偶e spr贸buj co艣 zrobi膰 bez odpowiedzi?), to trzeba my艣le膰. $T_1$ oznacza, 偶e dla ka偶dych r贸偶nych $x,y$ istnieje $U$-otwarty, 偶e $x\in U$ i $y\notin U$. Tutaj 艂atwo (prawda?) zauwa偶y膰, 偶e na przyk艂ad $\frac{1}{2}$ nale偶y do WSZYSTKICH zbior贸w otwartych niepustych. Czyli je艣li $y=\frac{1}{2}$, to na pewno nie istnieje zbi贸r otwarty $U$, 偶e $x\in U$ (czyli $U$ niepusty) oraz $y\notin U$. x mo偶na wybra膰 dowolnie, tu szukanie kontrprzyk艂adu nie jest skomplikowane. B. Tu przecie偶 jest niesamowicie 艂atwo. Po艣wi臋膰 tym zadaniom chwil臋, zanim napiszesz, 偶e nie wiesz. Przecie偶 $N_0\subset Z$, czyli $A=R\backslash N_0$ spe艂nia warunek $R\backslash A\subset Z$. Czyli $A$ otwarty, czyli $N_0$ domkni臋ty. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-02-14 21:18:37 C. $Q$ jest oczywi艣cie cz臋sto sensown膮 kandydatur膮. Sprawdzamy. $Q$ jest przeliczalny. Pozostaje sprawdzi膰, czy jego domkni臋ciem jest $R$. Zauwa偶, 偶e poza $R$ WSZYSTKIE zbiory domkni臋te $F$ spe艂niaj膮 warunek $F\subset Z$. Czyli domkni臋ciem $Q$ nie jest 偶aden z nich. Czyli musi by膰 nim $R$. Przy tej samej argumentacji da si臋 poda膰 wiele innych zbior贸w g臋stych przeliczalnych. ;) |
tumor post贸w: 8070 | 2013-02-14 21:27:53 D. Wiedz膮c, 偶e nie jest zwarta, szukamy po prostu kontrprzyk艂adu. Ale zn贸w. Za艂贸偶my, 偶e nie wiemy, czy zwarta jest. Zwarto艣膰 chyba mia艂a艣 definiowan膮 przez pokrycia? Czyli 偶e z ka偶dego pokrycia R zbiorami otwartymi mo偶na wybra膰 podpokrycie sko艅czone? W贸wczas zastanawiamy si臋, czy istnieje pokrycie, z kt贸rego nie mo偶na. Naj艂atwiej by nam by艂o, gdyby w og贸le istnia艂o takie pokrycie, 偶e ka偶dy jego element ma punkt, kt贸ry nie nale偶y do innych element贸w. (I gdyby to oczywi艣cie nie by艂o pokrycie sko艅czone). Niech $k\in Z$ oraz $A=R\backslash Z$. Zdefiniujmy $A_k=A\cup\{k\}$. Zbiory $A_k$ s膮 otwarte. Jest ich przeliczalnie wiele, ale niesko艅czenie. I 艣wietnie wysz艂o, bo ka偶da liczba ca艂kowita nale偶y tylko do jednego zbioru $A_k$. Czyli takie pokrycie nie daje si臋 zmniejszy膰, nie mo偶emy usun膮膰 偶adnego elementu, aby to wci膮偶 by艂o pokrycie. Zatem wysz艂o 艂atwo. (Z niekt贸rymi przestrzeniami, kt贸re nie s膮 zwarte, by艂oby trudniej, ale to wy偶ej to taka metoda w zgadywanie najprostszej mo偶liwo艣ci. Zadzia艂a艂o) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj