Topologia, zadanie nr 1109
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
mat12 post贸w: 221 |  2013-02-15 17:15:19W zbiorze $\mathbb{R}$ definiujemy topologi臋 $\tau$ w nast臋puj膮cy spos贸b: $A\in \tau \iff 1\notin A$ lub $\mathbb{R}\backslash A$ jest co najwy偶ej przeliczalny A.Czy {$2k : k \in \mathbb{Z}$}$\in \tau \cap \sigma$?(czyli czy jest zb.otwarto-domkni臋tym) B.Czy $(\mathbb{R},\tau)$ jest przestrzeni膮 Hausdorffa? C.Czy $(\mathbb{R},\tau)$ jest zwarta? D.Czy $(\mathbb{R},\tau)$ jest sp贸jna? odpowiedzi to: A.tak B.tak C.nie D.nie A. ten zbi贸r jest otwarty bo 1 nie nale偶y do niego ($\frac{1}{2}\notin \mathbb{Z}$) a domkni臋to艣膰 b臋dzie wynika艂a z tego 偶e ten zbi贸r jest co najwy偶ej przeliczalny??? B. Przestrze艅 topologiczna $(X,\tau)$ jest przestrzeni膮 Hausdorffa, je艣li dwa r贸偶ne punkty tej przestrzeni posiadaj膮 otoczenia roz艂膮czne. C. Przestrze艅 topologiczna $(X,\tau)$ naz.przestrzeni膮 zwart膮, je艣li $(X,\tau)$ jest przestrzeni膮 Hausdorffa i ka偶de pokrycie otwarte przestrzeni X ma podpokrycie sko艅czone. D. Przestrze艅 topologiczna $(X,\tau)$ naz.przestrzeni膮 sp贸jn膮, je艣li X nie da si臋 zapisa膰 jako suma dw贸ch zbior贸w otwartych,niepustych i roz艂膮cznych. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-02-15 17:43:31 A. Dok艂adnie tak jak piszesz. B. Napisa艂a艣 definicj臋, teraz skorzystaj. Zbiory otwarte to te, kt贸re nie zawieraj膮 jedynki lub te, kt贸re maj膮 przeliczalne dope艂nienie. Oczywi艣cie te drugie s膮 \"du偶e\". We藕my $x,y\in R$. Ale niech $x\neq y$, $x\neq 1$ i $y\neq 1$. Na pocz膮tek rozwa偶ymy co si臋 dzieje poza $1$, bo jedynka jest wyr贸偶niona w tej przestrzeni i mo偶e si臋 zachowywa膰 dziwnie. Pomy艣l, jakie s膮 NAJMNIEJSZE (jakie umiesz poda膰) zbiory otwarte zawieraj膮ce $x$ i $y$. Bo im s膮 mniejsze (w jakim艣 niekoniecznie 艣cis艂ym sensie) tym 艂atwiej trafi膰 na to, 偶e s膮 roz艂膮czne. Tutaj zbiory $\{x\}$ i $\{y\}$ s膮 otwarte roz艂膮czne, czyli bardzo 艂atwo!. Teraz niech $x=1\neq y$. Wiemy ju偶, 偶e $\{y\}$ jest otwarty. Pozostaje tylko znale藕膰 zbi贸r $U$ roz艂膮czny z $\{y\}$, otwarty i zawieraj膮cy $x=1$. Oczywi艣cie skoro $x=1$, to zbi贸r ten spe艂nia膰 musi warunek $R\backslash U$ najwy偶ej przeliczalny. Ale wymy艣li膰 go prosto. Na przyk艂ad $U=R\backslash \{y\}$ jest odpowiednim zbiorem (mo偶na by艂o odj膮膰 wi臋cej punkt贸w, ale nie trzeba). D. Zauwa偶, 偶e zupe艂nie przypadkiem zbiory $\{y\}$ i $R\backslash \{y\}$ dla $y\neq 1$ wysz艂y nie tylko otwarte, niepuste, roz艂膮czne, ale i sumuj膮ce si臋 do $R$. Niesp贸jno艣膰 wysz艂a, cho膰 si臋 nie stara艂em. Te zadania s膮 tak urobione, 偶eby by艂o 艂atwo. :) |
tumor post贸w: 8070 | 2013-02-15 17:53:51 C. No i zwarto艣膰. Popatrz tak. Szukasz jakiego艣 du偶ego pokrycia, ale z艂o偶onego z \"ma艂ych\" (zn贸w niekoniecznie 艣ci艣le) zbior贸w, 偶eby si臋 ich nie da艂o wyrzuca膰, bo powstan膮 \"dziury\" w pokryciu. Tu ju偶 wiesz, 偶e je艣li $x\neq 1$, to zbiory $\{x\}$ s膮 otwarte. Tak mo偶na pokry膰 $R\backslash \{1\}$, czyli niestety nie wszystko. Trzeba doda膰 jeszcze jeden zbi贸r otwarty zawieraj膮cy $1$, ale w艂a艣nie jak najmniejszy, 偶eby nie przykry膰 nim zbyt wiele. Mogliby艣my wzi膮膰 ca艂e $R$, mogliby艣my $R$ bez zbioru sko艅czonego, ale najmniejszy b臋dzie $R$ bez zbioru przeliczalnego niesko艅czonego. I taki najmniejszy we藕miemy, na przyk艂ad $R\backslash Q$. Do tego dodamy wszystkie $\{x\}$ dla $x\in Q$. Takie pokrycie otwarte jest niesko艅czone. Zbiory tego pokrycia s膮 roz艂膮czne, czyli 偶adnego nie mo偶emy usun膮膰. Czyli nie da si臋 wybra膰 podpokrycia sko艅czonego. Nie jest zwarta. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj