Topologia, zadanie nr 1124
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
909090 post贸w: 1 |  2013-02-18 21:16:531) Niech X = $R^{2}$. Zbada膰 kt贸re z poni偶szych funkcji s膮 metrykami w X : a) d(($x_{1}$, $y_{1}$), ($x_{2}$, $y_{2}$)) = |$x_{2}$ - $x_{1}$| + |$y_{2}$ - $y_{1}$|, b) d($x_{1}$, $y_{1}$ $y_{1}$), ($x_{2}$, $y_{2}$)) = |$x_{2}$ - $x_{1}$| - |$y_{2}$ - $y_{1}$|, c) d(($x_{1}$, $y_{1}$), ($x_{2}$, $y_{2}$)) = 2|$x_{2}$ - $x_{1}$| + |$y_{2}$ - $y_{1}$|, d) d(($x_{1}$, $y_{1}$), ($x_{2}$, $y_{2}$)) = max{|$x_{2}$ - $x_{1}$|, |$y_{2}$ - $y_{1}$|}, e) d(($x_{1}$, $y_{1}$), ($x_{2}$, $y_{2}$)) = max{|$x_{2}$ - $x_{1}$|, 2|$y_{2}$ - $y_{1}$|}, f) d(($x_{1}$, $y_{1}$), ($x_{2}$, $y_{2}$)) = max{|$x_{2}$ - $x_{1}$|, $y_{2}$ - $y_{1}$}, g) d(($x_{1}$, $y_{1}$), ($x_{2}$, $y_{2}$)) = $(x_{2} - x_{1})^{2}$ + ($y_{2} - y_{1})^{2}$ h) d(($x_{1}$, $y_{1}$), ($x_{2}$, $y_{2}$)) = $\sqrt{(x_{2} - x_{1})^2 + (y_{2} - y_{1})^2}$ w przypadku, gdy dana funkcja jest metryk膮, poda膰 jak wygl膮daj膮 kule i sfery w tej przestrzeni oraz scharakteryzowa膰 ci膮gi zbie偶ne. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-02-18 21:56:31 a) $d((a,b),(c,d))=0 \iff$ $a=c$ i $b=d$ $d((a,b),(c,d))=d((c,d),(a,b))$ i na koniec warunek tr贸jk膮ta. $d((a,b),(c,d))=|c-a|+|d-b|$ $d((a,b),(x,y))=|x-a|+|y-b|$ $d((x,y),(c,d))=|c-x|+|d-y|$ Mamy $|c-a|=|c-x+x-a|\le|x-a|+|c-x|$ $|d-b|=|d-y+y-b|\le |d-y|+|y-b|$ Zatem spe艂niony warunek tr贸jk膮ta, jest metryk膮. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-02-18 21:58:15 b) $d((2,2),(1,1))=1-1=0$ Nie jest metryk膮, nie spe艂nia warunku pierwszego. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-02-18 22:01:03 c) Wszystkie obliczenia wygl膮daj膮 dok艂adnie identycznie jak w a), tylko w odpowiednim miejscu piszemy dodatkow膮 $2$ Obliczenia pozostaj膮 w mocy, trzy warunki spe艂nione, jest metryk膮. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-02-18 22:17:54 d) $d((a,b),(c,d))=0 \iff max(|c-a|,|d-b|)=0 \iff c=a$ i $d=b$ $d((a,b),(c,d))=d((c,d),(a,b))$ (maksimum si臋 nie zmienia od przestawienia liczb) i zn贸w najwi臋cej zabawy z warunkiem tr贸jk膮ta $d((a,b),(c,d))=max(|c-a|,|d-b|)$ $d((a,b),(x,y))=max(|x-a|,|y-b|)$ $d((x,y),(c,d))=max(|c-x|,|d-y|)$ Za艂贸偶my, 偶e $max(|c-a|,|d-b|)=|c-a|$ Oczywi艣cie (jak w a)) mamy $|c-a|\le |x-a|+|c-x|\le max(|x-a|,|y-b|)+max(|c-x|,|d-y|)$ Analogicznie, je艣li $max(|c-a|,|d-b|)=|d-b|$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-02-18 22:19:44 e) obliczenia wygl膮daj膮 jak w d) z drobnym dodatkiem c) jest metryk膮 |
tumor post贸w: 8070 | 2013-02-18 22:25:07 f) nie jest metryk膮, nie spe艂nia warunku pierwszego ani drugiego poka偶emy mo偶e pierwszy $d((2,2),(2,1))=0$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-02-18 23:30:18 g) warunki 1 i 2 s膮 takie niesamowicie oczywiste, 偶e mi si臋 nie chce pisa膰. I zn贸w pozostaje sprawdzi膰 warunek tr贸jk膮ta. W艂a艣ciwie te偶 mi si臋 nie chce pisa膰. $d((a,b),(c,d))=(c-a)^2+(d-b)^2$ $d((a,b),(x,y))=(x-a)^2+(y-b)^2$ $d((x,y),(c,d))=(c-x)^2+(d-y)^2$ Warunek tr贸jk膮ta nie zachodzi, o. Niech $(a,b)=(2,2)$ $(c,d)=(0,0)$ $(x,y)=(2,1)$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj