Analiza matematyczna, zadanie nr 1127

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
cepanek postów: 1	2013-02-18 21:51:54 Hej wszytskim. Tpierwszy post, więc z góry przepraszam za wszelkie popelnione błędy. Piszę, gdyż od jakiegoś czasu męczę się z dwoma przykładami i za każdym razem mam zły wynik, a prowadzący moje ćwiczenia nie chce mi ich odpuścić. Będę bardzo wdzięczna za pomoc w rozwiązaniu! 1) Znaleźć rozwiązanie ogólne równania: a) y' + y/x = 2/(x^4) b) y'' + 2y' + y = (x^3) + 2x 2) Zbudować szereg Fouriera: f(x)={1 dla x należących do (- pi, 0) oraz x dla x należących do (0, pi) na przedziale (-pi, pi)

tumor postów: 8070	2014-08-29 15:05:03 a) Rozwiążmy równanie jednorodne $y`=-\frac{y}{x}$ $\frac{dy}{y}=\frac{-dx}{x}$ $ln\|y\|=-ln\|x\|+c$ $y=\frac{c}{x}$ weźmy $y=c(x)\frac{1}{x}$ $y`=c`(x)\frac{1}{x}-c(x)\frac{1}{x^2}$ $y`+\frac{y}{x}=c`(x)\frac{1}{x}-c(x)\frac{1}{x^2}+c(x)\frac{1}{x^2}=c`(x)\frac{1}{x}=\frac{2}{x^4}$ $c`(x)=\frac{2}{x^3}$ $c(x)=-x^{-2}$ Stąd rozwiązanie $y(x)=\frac{c}{x}-x^{-2}\frac{1}{x}=\frac{c}{x}=\frac{1}{x^3}$

tumor postów: 8070	2014-08-29 15:05:11 b) jak wyżej. Rozwiązujemy jednorodne poprzez rozwiązanie równania charakterystycznego. Rozwiązaniem (podwójnym) r.ch. jest liczba $-1$, stąd $e^{-x}$ oraz $xe^{-x}$ są rozwiązaniami ogólnymi (niezależnymi), czyli jest rozwiązaniem ich kombinacja liniowa $y=c_1e^{-x}+c_2xe^{-x}$ Uzmienniamy stałe $y=c_1(x)e^{-x}+c_2(x)xe^{-x}$ wyliczamy $c_1`(x)$ i $c_2`(x)$ z układu $\left[\begin{matrix} e^{-x} & xe^{-x}\\ -e^{-x} &e^{-x}-xe^{-x} \end{matrix}\right]* \left[\begin{matrix} c_1`(x) \\ c_2`(x) \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} 0 \\ x^3+2x \end{matrix}\right]$ całkujemy, by otrzymać $c_1(x)$ i $c_2(x)$, rozwiązaniem ogólnym jest $y=c_1e^{-x}+c_2xe^{-x}+c_1(x)e^{-x}+c_2(x)xe^{-x}$, gdzie $c_1,c_2$ są stałymi, a $c_1(x), c_2(x)$ funkcjami wyliczonymi wyżej. PS. Odpuszcza się grzechy, nie przykłady. Jeśli masz pewne wymagania religijne, taktownie jest się zwrócić do instytucji religijnych.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj