logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 114

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

raczka1991
postów: 34
2011-03-25 15:49:58

Mam problem z taką granicą:
$ \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin(x_0+h)}{x_0+h}- \frac{\sin x_0}{x_0} }{h} $, gdzie $x_0=0$

Przy czym musi być bez reguły de l"Hospitala, bo różniczkowalność funkcji jest w książce przed regułą de l'Hospitala.


tumor
postów: 8070
2012-09-20 15:07:13

$f(x)=\frac{\sin x}{x}$

Piszesz, jakby chodziło Ci o sprawdzenie różniczkowalności w $x_0=0$, ale ta funkcja NIE JEST nawet określona w $0$, więc najwyraźniej kręcisz.

Przypuśćmy, że funkcja wygląda raczej tak:

$f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{\sin x}{x} && \mbox{dla }x\neq0 \\ 1 && \mbox{dla }x=0\end{matrix}\right.$

Jest to funkcja ciągła, bo $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1=f(0)$.
Geometrycznie/algebraicznie dowodzimy, że dla $0< x<\frac{\pi}{2}$ mamy $\sin x\le x \le \tan x$
co daje $1\le \frac{x}{\sin x} \le \frac{1}{\cos x}$ czyli
$\cos x \le \frac{\sin x}{x}\le 1$ (i podobnie rozumujemy dla $x<0$).

By odpowiedzieć na pytanie o różniczkowalność szacujemy:

$0\le |\frac{\frac{\sin x}{x}-1}{x}| \le |\frac{\cos x-1}{x}|=|
\frac{1-2\sin^2\frac{1}{2}x-1}{2*\frac{1}{2}x}|=|
\frac{-\sin^2\frac{1}{2}x}{\frac{1}{2}x}|=|\frac{-\sin \frac{1}{2}x}{\frac{1}{2}x}|*|\sin \frac{1}{2}x|$

Z twierdzenia o trzech funkcjach mamy granicę
$\lim_{x \to 0}\frac{\frac{\sin x}{x}-1}{x}=0$

-------

I mały dopisek:
Granicę $\lim_{x \to x_0}\frac{\sin x}{x}$ w $x_0=0$ łatwo byłoby liczyć z reguły de l'Hospitala. W metodzie tej używa się pochodnej z funkcji $\sin x$, którą należy znać wcześniej. Pochodną liczymy
$\lim_{x \to x_0}\frac{\sin x - \sin x_0}{x-x_0}=\frac{2\sin \frac{x-x_0}{2}\cos\frac{x+ x_0}{2}}{x-x_0}$ i korzystamy w tym miejscu z faktu, że $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$.
Błędne koło. ;) Dlatego przydaje się inny dowód istnienia tej granicy. A reszta policzona też bez de l'Hospitala zgodnie z życzeniem. :) Zauważmy, że uzyskaliśmy na drodze przekształceń trygonometrycznych wyrażenia bardzo podobne do tych, które mielibyśmy przy regule de l'Hospitala.



strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 50 drukuj