Analiza matematyczna, zadanie nr 114
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
raczka1991 post贸w: 34 |  2011-03-25 15:49:58Mam problem z tak膮 granic膮: $ \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin(x_0+h)}{x_0+h}- \frac{\sin x_0}{x_0} }{h} $, gdzie $x_0=0$ Przy czym musi by膰 bez regu艂y de l\"Hospitala, bo r贸偶niczkowalno艣膰 funkcji jest w ksi膮偶ce przed regu艂膮 de l\'Hospitala. |
tumor post贸w: 8070 | 2012-09-20 15:07:13 $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ Piszesz, jakby chodzi艂o Ci o sprawdzenie r贸偶niczkowalno艣ci w $x_0=0$, ale ta funkcja NIE JEST nawet okre艣lona w $0$, wi臋c najwyra藕niej kr臋cisz. Przypu艣膰my, 偶e funkcja wygl膮da raczej tak: $f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{\sin x}{x} && \mbox{dla }x\neq0 \\ 1 && \mbox{dla }x=0\end{matrix}\right.$ Jest to funkcja ci膮g艂a, bo $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1=f(0)$. Geometrycznie/algebraicznie dowodzimy, 偶e dla $0< x<\frac{\pi}{2}$ mamy $\sin x\le x \le \tan x$ co daje $1\le \frac{x}{\sin x} \le \frac{1}{\cos x}$ czyli $\cos x \le \frac{\sin x}{x}\le 1$ (i podobnie rozumujemy dla $x<0$). By odpowiedzie膰 na pytanie o r贸偶niczkowalno艣膰 szacujemy: $0\le |\frac{\frac{\sin x}{x}-1}{x}| \le |\frac{\cos x-1}{x}|=| \frac{1-2\sin^2\frac{1}{2}x-1}{2*\frac{1}{2}x}|=| \frac{-\sin^2\frac{1}{2}x}{\frac{1}{2}x}|=|\frac{-\sin \frac{1}{2}x}{\frac{1}{2}x}|*|\sin \frac{1}{2}x|$ Z twierdzenia o trzech funkcjach mamy granic臋 $\lim_{x \to 0}\frac{\frac{\sin x}{x}-1}{x}=0$ ------- I ma艂y dopisek: Granic臋 $\lim_{x \to x_0}\frac{\sin x}{x}$ w $x_0=0$ 艂atwo by艂oby liczy膰 z regu艂y de l\'Hospitala. W metodzie tej u偶ywa si臋 pochodnej z funkcji $\sin x$, kt贸r膮 nale偶y zna膰 wcze艣niej. Pochodn膮 liczymy $\lim_{x \to x_0}\frac{\sin x - \sin x_0}{x-x_0}=\frac{2\sin \frac{x-x_0}{2}\cos\frac{x+ x_0}{2}}{x-x_0}$ i korzystamy w tym miejscu z faktu, 偶e $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$. B艂臋dne ko艂o. ;) Dlatego przydaje si臋 inny dow贸d istnienia tej granicy. A reszta policzona te偶 bez de l\'Hospitala zgodnie z 偶yczeniem. :) Zauwa偶my, 偶e uzyskali艣my na drodze przekszta艂ce艅 trygonometrycznych wyra偶enia bardzo podobne do tych, kt贸re mieliby艣my przy regule de l\'Hospitala. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj