Analiza matematyczna, zadanie nr 115
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
raczka1991 post贸w: 34 |  2011-03-27 15:00:07Zbadaj ci膮g艂o艣膰 i r贸偶niczkowalno艣膰 funkcji w punkcie $x_0=0$. $f(x)=\left\{\begin{matrix} x^2 \sin\frac{1}{x} \rightarrow x\neq 0 \\ 0 \rightarrow x=0 \end{array}\right$ Ot贸偶 wychodzi mi, 偶e JESt ci膮g艂a i NIE JEST r贸偶niczkowalna, ale w odpowiedziach jest odwrotnie. |
tumor post贸w: 8070 | 2012-09-19 13:09:59 R贸偶niczkowalno艣膰 to tyle co istnienie granicy ilorazu r贸偶nicowego. $\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to 0}\frac{x^2\sin{\frac{1}{x}}-0}{x-0}=\lim_{x \to 0}x\sin{\frac{1}{x}}=0$ bo $\sin x$ jest ograniczony, a $\lim_{x \to 0}x=0$. Granica istnieje, zatem $f$ jest r贸偶niczkowalna. Ci膮g艂o艣膰 z kolei te偶 mo偶na opisa膰 granic膮. Funkcja ci膮g艂a w $x_0$ spe艂nia warunek $\lim_{x \to x_0} f(x )= f(x_0)$ Ale przypu艣膰my, 偶e $\lim_{x \to x_0}f(x) \neq f(x_0)$, czyli $\lim_{x \to x_0}f(x)-f(x_0)=\epsilon\neq0$ I pr贸bujmy policzy膰 pochodn膮 $\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0}\frac{\epsilon}{x-x_0}=\pm\infty$ Znak zale偶y od znaku licznika i kierunku z kt贸rego podchodzimy do $x_0.$ Funkcja, kt贸ra nie jest ci膮g艂a, nie mog艂aby by膰 r贸偶niczkowalna. Skoro jest r贸偶niczkowalna, to jest te偶 ci膮g艂a. Dlatego w odpowiedziach na pewno NIE JEST odwrotnie (a je艣li jest, to w odpowiedzi jest b艂膮d), przedstawiona funkcja jest ci膮g艂a i r贸偶niczkowalna wsz臋dzie. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj