Algebra, zadanie nr 1151
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
02468 post贸w: 5 |  2013-02-27 20:51:04Okre艣li膰 wymiary i wyznaczy膰 bazy podprzestrzeni liniowych generowanych przez podane zbiory wektor贸w ze wskazanych przestrzeni liniowych : a) (2, 1, 1), (-1, 1, 2), (3, 3, 4), (5, -2, -5), (0, 1, -1), $R^{3}$ b) $x^{3}$ + 2$x^{2}$ + x, $x^{2}$ - x + 1, $x^{3}$ + $x^{2}$, $x^{3}$ - x, 2$x^{2}$ -1, $R_{3}$x Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2013-02-27 20:52:25 przez 02468 |
tumor post贸w: 8070 | 2013-02-28 09:44:01 a) bierzemy wektory tr贸jkami i sprawdzamy, czy znajdziemy uk艂ad liniowo niezale偶ny. Mo偶na to sprawdza膰 r贸偶nie, ale mo偶e najszybciej liczy膰 rz膮d albo wyznacznik $\left[\begin{matrix} 2&1&1 \\ -1&1&2 \\0&1&-1 \end{matrix}\right]$ $\left[\begin{matrix} 0&3&5 \\ -1&1&2 \\0&1&-1 \end{matrix}\right]$ $\left[\begin{matrix} 0&8&0 \\ 1&0&0 \\0&1&-1 \end{matrix}\right]$ tu ju偶 chyba nie ma w膮tpliwo艣ci, 偶e te trzy wektory s膮 liniowo niezale偶ne. Uwaga: tu sprawdzamy liniow膮 niezale偶no艣膰 przez sprawdzenie rz臋du macierzy. Dla rz臋du nie ma znaczenia, czy wykonujemy operacje na wierszach czy kolumnach, czy podzielimy/pomno偶ymy wiersz/kolumn臋 przez liczb臋 (byle nie przez 0), czy wektory zapisujemy w pionie czy w poziomie. Znale藕li艣my 3 wektory liniowo niezale偶ne, wi臋cej ich by膰 nie mo偶e, wymiar jest 3. Mogliby艣my wpakowa膰 wszystkie wektory w jedn膮 macierz i liczy膰 jej rz膮d, ale wzi膮艂em trzy, kt贸re na oko dawa艂y najwi臋ksze szanse sukcesu. Oczywi艣cie maksymalny uk艂ad wektor贸w liniowo niezale偶nych stanowi tu baz臋. Pewnie nie jedyn膮 mo偶liw膮, ale mi si臋 sprawdza膰 nie chce. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-02-28 10:00:27 b) baz膮 standardow膮 jest $\{1,x,x^2,x^3,x^4\}$ Zapisujemy wektory w tej bazie $x+2x^2+x^3=(0,1,2,1)$ $1-x+x^2=(1,-1,1,0)$ $x^2+x^3=(0,0,1,1)$ $-x+x^3=(0,-1,0,1)$ $-1+2x^2=(-1,0,2,0)$ Wykonujemy operacje. Trzeci wiersz jest na pewno zale偶ny od pierwszego i czwartego, to mi si臋 rzuci艂o w oczy. Zostaj膮 jednak 4 pozosta艂e wiersze. Ich macierz jest 4x4 wi臋c mo偶na liczy膰 wyznacznik. Je艣li b臋dzie niezerowy (a b臋dzie) to rz膮d jest 4 i te 4 wektory stanowi膮 baz臋. Gdyby by艂 zerowy, to szukamy macierzy 3x3 o niezerowym wyznaczniku (je艣li znajdziemy, to rz膮d 3 i wektory odpowiadaj膮ce wierszom macierzy stanowi膮 baz臋, a je艣li nie znajdziemy, to analogicznie 2x2). Mo偶na by艂o wybra膰 ka偶d膮 inn膮 baz臋 przestrzeni wielomian贸w, ale by艂oby trudniej poda膰 wsp贸艂rz臋dne. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj