Analiza matematyczna, zadanie nr 1153

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
535353 postów: 4	2013-02-28 16:14:24 1) obliczyć granice : a) $\lim_{x \to +\infty}$ ($\sqrt{x^2 + 1}$ - $\sqrt{x^2 - 1}$) b) $\lim_{x \to 16}$$\frac{\sqrt{x\sqrt{x}}-8}{\sqrt[4]{x}-2}$ c) $\lim_{x \to 0}$ $\frac{\sqrt{x^2 + 1}-\sqrt{x + 1}}{1 - \sqrt{x + 1}}$ d) $\lim_{x \to -\infty}$ ($\sqrt{x^2 - 8x + 3}$ - $\sqrt{x^2 + 11x}$) e) $\lim_{x \to 2}$ $\frac{\sqrt{x^3 - 3x^2 + 4} - x + 2}{x^2 - 4}$ f) $\lim_{x \to +\infty}$ $x^{3}$($\sqrt{x^2 + \sqrt{x^4 + 1}}$ - x$\sqrt{2}$) g) $\lim_{x \to 1}$ $\frac{\sqrt[3]{2x - 1}- \sqrt[3]{3x - 2}}{\sqrt{4x - 3} - 1}$ h) $\lim_{x \to -\infty}$ ($\sqrt{x^2 + 2x}$ + $\sqrt[3]{x^3 + x^2}$)

tumor postów: 8070	2013-02-28 16:19:55 Przerażające. a) $\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1})= \lim_{x \to \infty}(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1})*\frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}= \lim_{x \to \infty}\frac{x^2+1-x^2+1}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}= \lim_{x \to \infty}\frac{2}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}=0$

tumor postów: 8070	2013-02-28 16:30:51 b) $\lim_{x \to 16}\frac{\sqrt{x\sqrt{x}}-8}{\sqrt[4]{x}-2}=$ żeby przykład był czytelny, zastosuję podstawienie $y^4=x$, $y^2=\sqrt{x}$, ale wcale tego podstawienia stosować nie trzeba. Moża wykonać te same operacje bez podstawienia. $=\lim_{y \to 2}\frac{\sqrt{y^6}-8}{y-2}= \lim_{y \to 2}\frac{y^3-8}{y-2}= \lim_{y \to 2}\frac{(y-2)(y^2+2y+4)}{y-2}=\lim_{y \to 2}(y^2+2y+4)=12$

tumor postów: 8070	2013-02-28 16:39:58 c) $\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x+1}}{1-\sqrt{x+1}}= \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x+1}}{1-\sqrt{x+1}}\frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x+1}}\frac{1+\sqrt{x+1}}{1+\sqrt{x+1}}= \lim_{x \to 0}\frac{x^2+1-x-1}{1-x-1}\frac{1+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x+1}}=\lim_{x \to 0}\frac{x(1-x)}{x}\frac{1+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x+1}}=1*\frac{2}{2}=1 $

tumor postów: 8070	2013-02-28 16:47:54 d) $\lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2-8x+3}-\sqrt{x^2+11x})= \lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2-8x+3}-\sqrt{x^2+11x})*\frac{\sqrt{x^2-8x+3}+\sqrt{x^2+11x}}{\sqrt{x^2-8x+3}+\sqrt{x^2+11x}}= \lim_{x \to -\infty}\frac{x^2-8x+3-x^2-11x}{\sqrt{x^2-8x+3}+\sqrt{x^2+11x}}= \lim_{x \to -\infty}\frac{-19x+3}{\sqrt{x^2-8x+3}+\sqrt{x^2+11x}}=$ uwaga $=\lim_{x \to -\infty}\frac{-19x+3}{-x\sqrt{1-\frac{8}{x}+\frac{3}{x^2}}-x\sqrt{1+\frac{11}{x}}}=\frac{19}{2}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj