logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 1153

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

535353
postów: 4
2013-02-28 16:14:24

1) obliczyć granice :

a) $\lim_{x \to +\infty}$ ($\sqrt{x^2 + 1}$ - $\sqrt{x^2 - 1}$)
b) $\lim_{x \to 16}$$\frac{\sqrt{x\sqrt{x}}-8}{\sqrt[4]{x}-2}$
c) $\lim_{x \to 0}$ $\frac{\sqrt{x^2 + 1}-\sqrt{x + 1}}{1 - \sqrt{x + 1}}$
d) $\lim_{x \to -\infty}$ ($\sqrt{x^2 - 8x + 3}$ - $\sqrt{x^2 + 11x}$)
e) $\lim_{x \to 2}$ $\frac{\sqrt{x^3 - 3x^2 + 4} - x + 2}{x^2 - 4}$
f) $\lim_{x \to +\infty}$ $x^{3}$($\sqrt{x^2 + \sqrt{x^4 + 1}}$ - x$\sqrt{2}$)
g) $\lim_{x \to 1}$ $\frac{\sqrt[3]{2x - 1}- \sqrt[3]{3x - 2}}{\sqrt{4x - 3} - 1}$
h) $\lim_{x \to -\infty}$ ($\sqrt{x^2 + 2x}$ + $\sqrt[3]{x^3 + x^2}$)


tumor
postów: 8070
2013-02-28 16:19:55

Przerażające.

a) $\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1})=
\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1})*\frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}=
\lim_{x \to \infty}\frac{x^2+1-x^2+1}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}=
\lim_{x \to \infty}\frac{2}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}=0$


tumor
postów: 8070
2013-02-28 16:30:51

b)
$\lim_{x \to 16}\frac{\sqrt{x\sqrt{x}}-8}{\sqrt[4]{x}-2}=$

żeby przykład był czytelny, zastosuję podstawienie $y^4=x$, $y^2=\sqrt{x}$, ale wcale tego podstawienia stosować nie trzeba. Moża wykonać te same operacje bez podstawienia.

$=\lim_{y \to 2}\frac{\sqrt{y^6}-8}{y-2}=
\lim_{y \to 2}\frac{y^3-8}{y-2}=
\lim_{y \to 2}\frac{(y-2)(y^2+2y+4)}{y-2}=\lim_{y \to 2}(y^2+2y+4)=12$


tumor
postów: 8070
2013-02-28 16:39:58

c)
$\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x+1}}{1-\sqrt{x+1}}=

\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x+1}}{1-\sqrt{x+1}}*\frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x+1}}*\frac{1+\sqrt{x+1}}{1+\sqrt{x+1}}=
\lim_{x \to 0}\frac{x^2+1-x-1}{1-x-1}\frac{1+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x+1}}=\lim_{x \to 0}\frac{x(1-x)}{x}\frac{1+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x+1}}=1*\frac{2}{2}=1
$


tumor
postów: 8070
2013-02-28 16:47:54

d) $\lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2-8x+3}-\sqrt{x^2+11x})=
\lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2-8x+3}-\sqrt{x^2+11x})*\frac{\sqrt{x^2-8x+3}+\sqrt{x^2+11x}}{\sqrt{x^2-8x+3}+\sqrt{x^2+11x}}=
\lim_{x \to -\infty}\frac{x^2-8x+3-x^2-11x}{\sqrt{x^2-8x+3}+\sqrt{x^2+11x}}=
\lim_{x \to -\infty}\frac{-19x+3}{\sqrt{x^2-8x+3}+\sqrt{x^2+11x}}=$

uwaga

$=\lim_{x \to -\infty}\frac{-19x+3}{-x\sqrt{1-\frac{8}{x}+\frac{3}{x^2}}-x\sqrt{1+\frac{11}{x}}}=\frac{19}{2}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 16 drukuj