logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 1158

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mat12
postów: 221
2013-03-01 20:28:08

jeszcze w dwóch przykładach mam problem:
Znaleźć rozwiązanie ogólne równań różniczkowych jednorodnych względem x i y:
1) $\frac{dy}{dx}= \frac{2ty}{t^{2}-y^{2}}$
2) $(x+y)\frac{dy}{dx}+y =0$
w 2) odpowiedzią jest $x^{2}+2xy=C$

jeśli ktoś wie jak to zrobić to proszę aby się podzielił,
z góry ogromnie dziękuję


zorro
postów: 106
2013-03-05 20:53:07

1).
przekształcamy aby po jednej stronie były tylko "y", a po drugiej "x" (rozdzielamy zmienne) i całkujemy obustronnie.
$\int_{}^{}\frac{t^{2}-y^{2}}{2ty}dy=\int_{}^{}dx$
czyli:
$\int_{}^{}\frac{t}{2y}dy-\int_{}^{}\frac{y}{2t}dy=\int_{}^{}dx$
$\frac{t}{2}ln|y|-\frac{1}{4t}y^{2}=x+c_{1}$
mnożąc obie strony przez $4t$ i podstawiając stałą $c=4tc_{1}$ mamy rozwiązanie ogólne:
$2t^{2}ln|y|-y^{2}-4tx=c$


zorro
postów: 106
2013-03-05 21:21:31

2).
przekształcamy do postaci:
$\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{y}{x}}{1+\frac{y}{x}}$
podstawiamy funkcję pomocniczą $u(x)=\frac{y}{x}$
Wówczas $\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$ co po podstawieniu daje równanie:
$u+x\frac{du}{dx}=-\frac{u}{1+u}$
Teraz podobnie jak w poprzednim przykładzie rozdzielamy zmienne i całkujemy obie strony:
$x\frac{du}{dx}=-\frac{u(u+2)}{u+1}$
$\int_{}^{}\frac{u+1}{u(u+2)}du=-\int_{}^{}\frac{dx}{x}$
$ln|u+2|+\frac{1}{2}ln|u|-\frac{1}{2}ln|u+2|=-ln|x|+c_{1}$
dla wygody przyjmujemy $c_{1}=ln|c_{2}|$:
$ln|u(u+2)|=2ln\frac{|c_{2}|}{|x|}$
Więc:
$u(u+2)=\pm\frac{c_{2}^{2}}{x^{2}}$
Teraz przyjmujemy:
$c=\pm c_{2}^{2}$
$u=\frac{y}{x}$
$x^{2}(\frac{y^{2}}{x^{2}}+2\frac{y}{x})=c$
Ostatecznie rozwiązanie ogólne ma postać:
$y^{2}+2xy=c$

Obliczając pochodną funkcji uwikłanej możesz się przekonać, że to jest właściwe rozwiązanie, a nie tamto, które podałeś w zadaniu na wstępie.

Wiadomość była modyfikowana 2013-03-05 21:27:42 przez zorro

mat12
postów: 221
2013-03-06 16:38:44

bardzo dziękuję:)
faktycznie w wyniku ma być $y^{2}$ a nie $x^{2}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 17 drukuj