Algebra, zadanie nr 1173
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
pppsss post贸w: 23 |  2013-03-06 21:11:04Rozwi膮za膰 : 1) $x_{1}$ - 2$x_{2}$ + $x_{3}$ + $x_{4}$ = 1 $x_{1}$ - 2$x_{2}$ + $x_{3}$ - $x_{4}$ = -1 $x_{1}$ - 2$x_{2}$ + $x_{3}$ + 5$x_{4}$ = 5 2) 2$x_{1}$ + $x_{2}$ - $x_{3}$ + $x_{4}$ = 1 3$x_{1}$ - 2$x_{2}$ + 2$x_{3}$ - 3$x_{4}$ = 2 5$x_{1}$ + $x_{2}$ - $x_{3}$ + 2$x_{4}$ = -1 2$x_{1}$ -$x_{2}$ + $x_{3}$ - 3$x_{4}$ = 4 |
jakub77xx post贸w: 1 | 2013-03-07 21:32:49 $\left\{\begin{matrix}x_{1}-2x_{2}+x_{3}+x_{4}=1 \\ x_{1}-2x_{2}+x_{3}-x_{4}=-1 \end{matrix}\right.$ Odejmujesz od pierwszego r贸wnania r贸wnanie drugie i otrzymujesz: $2x_{4}=2 \iff x_{4}=1$ $x_{1}-2x_{2}+x_{3}=0$ $\frac{x_{1}+x_{3}}{2}=x_{2}$ Ostatecznie rozwi膮zaniem s膮 czw贸rki liczb $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})$ takie, 偶e: $ x_{1}$ i $ x_{3}$ s膮 dowolnymi liczbami rzeczywistymi, a $ x_{2}=\frac{x_{1}+x_{3}}{2}$ i $x_{4}=1 $ Tak mi si臋 wydaje :) |
zorro post贸w: 106 | 2013-03-08 18:32:58 1. Macierz ukadu A: $\begin{matrix} 1 \\ 1\\1 \end{matrix}\space\begin{matrix} -2 \\ -2\\-2 \end{matrix}\space\space\begin{matrix} 1 \\ 1\\1 \end{matrix}\space\begin{matrix}\space\space1 \\-1 \\ \space\space5 \end{matrix}$ Macierz rozszerzona C: $\begin{matrix} 1 \\ 1\\1 \end{matrix}\space\begin{matrix} -2 \\ -2\\-2 \end{matrix}\space\space\begin{matrix} 1 \\ 1\\1 \end{matrix}\space\begin{matrix}\space\space1 \\-1 \\ \space\space5 \end{matrix}\space\begin{matrix}\space\space1 \\-1 \\ \space\space5 \end{matrix}$ W obu macierzach minor stopnia co najwy偶ej drugiego jest niezerowy. Mianowicie: $\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}\space\begin{matrix} -1 \\ 5 \end{matrix}$ kt贸rego wyznacznik D=5*1-(-1)1=6 Rz臋dy macierzy R(A)=2 oraz R(C)=2 s膮 sobie r贸wne, wi臋c uk艂ad jest rozwi膮zalny i ma niesko艅czenie wiele rozwi膮za艅 zale偶nych od 4-2=2 parametr贸w. Jako parametry przyjmiemy $x_{1}=p, x_{2}=q$ Przekszta艂camy dwa ostatnie r贸wnania do postaci Cramera: $\left\{\begin{matrix} x_{3}-x_{4}=2q-p-1 \\ x_{3}+5x_{4}=2q-p+5 \end{matrix}\right.$ Wyznacznik g艂贸wny D=6 (patrz minor). Wyznacznik $Dx_{3}=5(2q-p-1)+(2q-p+5)=12q-6p=6(2q-p)$ Wyznacznik $Dx_{4}=(2q-p+5)-(2q-p-1)=6$ St膮d: $\left\{\begin{matrix} x_{1}=p \\ x_{2}=q\\x_{3}=\frac{Dx_{3}}{D}=2q-p\\x_{4}=\frac{Dx_{4}}{D}=1 \end{matrix}\right.$ |
zorro post贸w: 106 | 2013-03-08 18:56:58 2. Mamy 4 niewiadome i 4 r贸wnania. Nie jest to jednak uk艂a Cramera, gdy偶 wyznacznik g艂贸wny macierzy uk艂adu D=0 (kolumny 2 i 3 s膮 liniowo zale偶ne). Uk艂ad jest nierozwi膮zywalny. Inaczej m贸wi膮c niejednorodny uk艂ad n-r贸wna艅 i n-niewiadomych nie ma rozwi膮za艅 je艣li wyznacznik g艂贸wny D=0. Mo偶esz te偶 podej艣膰 inaczej: Macierz g艂贸wn膮 A i rozszerzon膮 C zestawiasz analogicznie jak w zadaniu 1. Rz膮d macierzy A, R(A)=3 Rz膮d macierzy C, R(C)=4 $\neq$ R(A) Uk艂ad jest nierozwi膮zywalny na mocy tw.Kroneckera-Capelliego. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj