Analiza matematyczna, zadanie nr 1175
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
mat12 postów: 221 | 2013-03-09 16:32:36 mam do przygotowania zagadnienie: obliczać pochodną funkcji $x\mapsto f(x)^{g(x)}$ gdzie f, g są wielomianami lub funkcjami wymiernymi. może ktoś podać przykłady takich funkcji bo nie mogę znaleźć konkretnych zadań na obliczenie pochodnej tego typu funkcji a zależy mi na tym aby przykłady funkcji były adekwantne do tematu zadania z góry dziękuję |
zorro postów: 106 | 2013-03-10 11:44:41 Zakadamy, że $f(x)>0$ oraz, że obie funkcje są ciągłe, a także przyjmijmy, że $f(x)$ nie jest tożsamościowo równa 1. Rozwiązanie ogólne: $[f(x)^{g(x)}]'=[e^{ln(f(x))^{g(x)}}]'=[e^{g(x)ln(f(x))}]'= e^{g(x)ln(f(x))}[g(x)ln(f(x))]'= $ $= e^{ln(f(x))^{g(x)}}[g'(x)ln(f(x))+g(x)ln'(f(x))]= f(x)^{g(x)}[g'(x)ln(f(x))+g(x)\frac{f'(x)}{f(x)}]$ Przykład 1: $y=(2x^{2}+1)^{(4x-5)}$ $y'=(2x^{2}+1)^{(4x-5)}[4ln(2x^{2}+1)+(4x-5)\frac{4x}{2x^{2}+1}]$ Przykład 2: $y=(x^{2}-1)^{x}$ Zakładamy, że $x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$ $y'=(x^{2}-1)^{x}[ln(x^{2}-1)+x\frac{2x}{x^{2}-1}]=$ $ =(x^{2}-1)^{x}[ln(x^{2}-1)+\frac{2x^{2}}{x^{2}-1}]=$ Przykład 3: $y=(\frac{x}{x+4})^{x^{2}+2x-3}$ Zakładamy, że $x>0$ $y'=(\frac{x}{x+4})^{x^{2}+2x-3}[(2x+2)ln(\frac{x}{x+4})+(x^{2}+2x-3)\frac{(\frac{x}{x+4})'}{\frac{x}{x+4}}]=$ $ =(\frac{x}{x+4})^{x^{2}+2x-3}[2(x+1)ln(\frac{x}{x+4})+(x^{2}+2x-3)(\frac{4}{(x+4)^{2}})(\frac{x+4}{x})]=$ $ =(\frac{x}{x+4})^{x^{2}+2x-3}[2(x+1)ln(\frac{x}{x+4})+\frac{4(x^{2}+2x-3)}{x(x+4)}]$ |
mat12 postów: 221 | 2013-03-10 11:48:13 Dziękuję bardzo za pomoc:) |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj