logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 1175

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mat12
postów: 221
2013-03-09 16:32:36

mam do przygotowania zagadnienie:
obliczać pochodną funkcji $x\mapsto f(x)^{g(x)}$ gdzie f, g są wielomianami lub funkcjami wymiernymi.

może ktoś podać przykłady takich funkcji bo nie mogę znaleźć konkretnych zadań na obliczenie pochodnej tego typu funkcji a zależy mi na tym aby przykłady funkcji były adekwantne do tematu zadania

z góry dziękuję


zorro
postów: 106
2013-03-10 11:44:41

Zakadamy, że $f(x)>0$ oraz, że obie funkcje są ciągłe, a także przyjmijmy, że $f(x)$ nie jest tożsamościowo równa 1.

Rozwiązanie ogólne:

$[f(x)^{g(x)}]'=[e^{ln(f(x))^{g(x)}}]'=[e^{g(x)ln(f(x))}]'= e^{g(x)ln(f(x))}[g(x)ln(f(x))]'= $
$= e^{ln(f(x))^{g(x)}}[g'(x)ln(f(x))+g(x)ln'(f(x))]= f(x)^{g(x)}[g'(x)ln(f(x))+g(x)\frac{f'(x)}{f(x)}]$

Przykład 1:
$y=(2x^{2}+1)^{(4x-5)}$
$y'=(2x^{2}+1)^{(4x-5)}[4ln(2x^{2}+1)+(4x-5)\frac{4x}{2x^{2}+1}]$

Przykład 2:
$y=(x^{2}-1)^{x}$
Zakładamy, że $x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$
$y'=(x^{2}-1)^{x}[ln(x^{2}-1)+x\frac{2x}{x^{2}-1}]=$
$ =(x^{2}-1)^{x}[ln(x^{2}-1)+\frac{2x^{2}}{x^{2}-1}]=$

Przykład 3:
$y=(\frac{x}{x+4})^{x^{2}+2x-3}$
Zakładamy, że $x>0$
$y'=(\frac{x}{x+4})^{x^{2}+2x-3}[(2x+2)ln(\frac{x}{x+4})+(x^{2}+2x-3)\frac{(\frac{x}{x+4})'}{\frac{x}{x+4}}]=$
$ =(\frac{x}{x+4})^{x^{2}+2x-3}[2(x+1)ln(\frac{x}{x+4})+(x^{2}+2x-3)(\frac{4}{(x+4)^{2}})(\frac{x+4}{x})]=$
$ =(\frac{x}{x+4})^{x^{2}+2x-3}[2(x+1)ln(\frac{x}{x+4})+\frac{4(x^{2}+2x-3)}{x(x+4)}]$


mat12
postów: 221
2013-03-10 11:48:13

Dziękuję bardzo za pomoc:)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 17 drukuj