Algebra, zadanie nr 1181

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
kamilka12345 postów: 28	2013-03-11 13:55:54 Udowodnić, że funkcja $\varphi$:Q$\rightarrow C_{\infty}$ dana wzorem $\varphi$(q)= cos(2$\pi$q)+isin(2$\pi$q) dla q$\in$Q jest homomorfizmem grup. Wyznaczyć jego jadro i obraz

zorro postów: 106	2013-03-15 05:48:05 Zbiór argumentów (pokrywa się tu z R) wraz z dodawaniem tworzy grupę (Q,+) Tzn. dodawanie jest łączne, ma element neutralny (0), oraz każdy element q ma element przeciwny (-q). Przeciwdziedziną Z danego odwzorowania jest zbiór liczb zespolonych o module równym jedności. Zbiór Z wraz z mnożeniem liczb zespolonych też tworzy grupę (Z, ) czyli mnożenie liczb zespolonych (a w szczególności liczb o module=1) jest łączne, ma element neutralny (1+i0), każdy element ma odpowiedni element przeciwny ($\frac{1}{Z}$). Aby dowieść homomorfizmu wystarczy sprawdzić czy dla każdych dwóch elementów z Q zachodzi: $\varphi (q_{1}+q_{2})=\varphi (q_{1})\varphi(q_{2})$ Prawa strona: $P = (cos(2\pi q_{1})+isin(2\pi q_{1}))(cos(2\pi q_{2})+isin(2\pi q_{2}))$ $P=cos(2\pi q_{1})cos(2\pi q_{2})-sin(2\pi q_{1})sin(2\pi q_{2}) + i(cos(2\pi q_{1})sin(2\pi q_{2})+sin(2\pi q_{1})cos(2\pi q_{2}))$ $P=cos(2\pi (q_{1}+q_{2}))+isin(2\pi (q_{1}+q_{2})) = L$ Widać, że jeśli wyjdziemy od strony lewej to też na podstawie własności funkcji trygonometrycznych dojdziemy do strony prawej warunku c.n.d. Aby wyznaczyć jądro wystarczy znaleźć dla jakich q ze zbioru Q obraz elementu staje się elementem neutralnym w grupie (Z,) Elementem neutralnym jest (1+i*0) więc: $\left\{\begin{matrix} cos(2\pi q)=1 \\ sin(2\pi q)=0 \end{matrix}\right.$ Stąd $2\pi q=2k\pi \Rightarrow q=k={0,\pm 1,\pm 2,...}$ Zatem jądrem homomorfizmu jest zbiór liczb całkowitych C. Obrazem zbioru Q jest okrąg w płaszczyźnie zespolonej o promieniu równym 1 (moduły wszystkich liczb zespolonych przeciwdziedziny wynoszą 1) i środku w punkcie (0,0) układu. Wiadomość była modyfikowana 2013-03-17 23:22:51 przez zorro

kamilka12345 postów: 28	2013-03-17 17:55:40 a nie mógłbyś tego po postu zapisać ,. bo ja naprawdę nie wiem o ci chodzi

zorro postów: 106	2013-03-17 23:22:06 Dowód to dokładnie sprawdzenie powyższego warunku. Wszystko masz tam zapisane. (P=L i L=P) Wyznaczenie jądra chyba też jest jasne. Jeśli "E" jest elementem neutralnym w zbiorze liczb zespolonych to szukamy takich q, dla których będzie $\varphi (q)=E$ więc $cos(2\pi q)+isin(2\pi q)=1+i0$ porównując część rzeczywistą i urojoną mamy układ równań jak powyżej i wyliczamy, że q=dowolnej liczbie całkowitej. Rzeczywiście jeśli wstawisz np. q=1 będzie $\varphi (q)=cos(2\pi)+isin(2\pi)=1+i0$ Kiedy szukamy obrazu, widać ze wzoru że są to liczby zespolone: $\forall_{q\in Q}\varphi :q \rightarrow cos(2\piq)+isin(2\piq)$ część rzeczywista $a=cos(2\piq)$ część urojona $b=sin(2\piq)$ Moduł takiej liczby to: $\|z\|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{cos^{2}(2\piq)+sin^{2}(2\piq)}=\sqrt{1}=1$ Dane przez odwzorowanie liczby zespolone są w postaci trygonometrycznej, więc argumentem jest kąt $2\piq$ Ponieważ q jest dowolną liczbą rzeczywistą więc i kąt jest dowolny. Zgodnie z przedstawieniem geometrycznym liczby zespolonej - para (a,b), widać że ramię kąta (równe modułowi czyli 1) zakreśla pełny obrót już dla q z przedziału <0,1>. Dalej już będą kolejne obroty. Zatem: $q\in <0,1> \Rightarrow 2\pi q \in<0, 2\pi>$ Wniosek $\forall_{q\in Q}\varphi (q)=z\in Z \wedge \|z\|=1 \wedge Arg(z)\in R$

kamilka12345 postów: 28	2013-03-18 22:48:02 mógłbyś wyznaczyć obraz homomorfizmu i wytłumaczyć dlaczego jest on tyle równy, a także napisać jaką obraz jest grupą i dlaczego właśnie taką

zorro postów: 106	2013-03-21 16:51:54 Wszystko masz już napisane powyżej. Ale powtórzę raz jeszcze: Grupy: Q=(Q,+) gdzie: $Q=R\space\space$ zbiór tożsamy ze zbiorem liczb rzeczywistych $+$ : dodawanie w R czyli działanie dwuargumentowe, które spełnia 3 warunki istnienia grupy (wiemy, że dodawanie w R jest łączne, ma element neutralny = 0, każdy element q ma w tym zbiorze ement symetryczny =-q) Z=(Z,)gdzie: $Z=Z-${$(0+i0)$} - zbiór tożsamy ze zbiorem liczb zespolonych z pominięciem 0. $$ : mnożenie w Z czyli działanie dwuargumentowe, które spełnia 3 warunki istnienia grupy (wiemy z podstawowych własności liczb zespolonych, że mnożenie w Z jest łączne, ma element neutralny = 1 =1+i0, każdy element z ma w tym zbiorze ement symetryczny =$\frac{1}{z}$, z=0 pominęliśmy przy definicji tej grupy) Homomorfizm: Przekształcenie $\varphi$ jest homomorfizmem grup gdyż zachodzi wzór, który podałem powyżej (to właśnie jest dowód). Jądro: $ker\varphi=${$q\in Q:\varphi (q)=E$} stąd wynika, że jądrem będą wszystkie liczby q spełniające równanie: $cos(2\pi q)+isin(2\pi q)=1+i0$ co jest równoważne układowi równań: $\left\{\begin{matrix} cos(2\pi q)=1 \\ sin(2\pi q)=0 \end{matrix}\right.$ skąd $q={0,\pm 1,\pm 2, \pm 3 ... }$ - jest to zbiór liczb całkowitych $ker\varphi=${$0,\pm 1,\pm 2, \pm 3 ... $}=C Obraz: $im\varphi =${$z\in Z:\exists_{q\in Q}\varphi (q)=z$} stąd wynika, że szukamy po prostu przeciwdziedziny odwzorowania $\varphi$ Ze wzoru na odwzorowanie wynika ,że: $im\varphi =${$z\in Z:\|z\|=1$} ponieważ zawsze $\sqrt{cos^{2}\alpha + sin^2\alpha}=1$ Obraz $im\varphi$ jest PODGRUPĄ grupy (Z,) zdefiniowanej powyżej, dlatego, że: 1.$im\varphi \subset Z$ 2.$(im\varphi ,)$ spełnia warunki istnienia grupy tzn: - łączność (mnożenie liczb zespolonych jest łączne więc także mnożenie liczb zespolonych o module=1 jest łączne) - istnieje element neutralny mianowicie E=(1+i*0), który należy do obrazu ($\|(1+i0)\|=1\Rightarrow E\in im\varphi$) - każdy element obrazu ma element symetryczny, który też należy do tego obrazu mianowicie $z'=\frac{1}{z}$ Ponieważ: $\frac{1}{z}=\frac{1}{\|z\|}(cos\alpha+isin\alpha)=1(cos\alpha+isin\alpha)$ więc: $\|cos\alpha+isin\alpha\|=\sqrt{cos^{2}\alpha+sin^{2}\alpha}=1\Rightarrow \frac{1}{z}\in im\varphi$ Można jeszcze dodać, że ponieważ mnożenie liczb zespolonych jest przemienne, to obraz stanowi także grupę Abelową, czyli przemienną. Jaśniej już nie jestem w stanie tego podać. Przeczytaj wszystko uważnie, myślę, że załapiesz. Wiadomość była modyfikowana 2013-03-22 02:59:40 przez zorro

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj