Algebra, zadanie nr 1181
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
kamilka12345 post贸w: 28 |  2013-03-11 13:55:54Udowodni膰, 偶e funkcja $\varphi$:Q$\rightarrow C_{\infty}$ dana wzorem $\varphi$(q)= cos(2$\pi$q)+isin(2$\pi$q) dla q$\in$Q jest homomorfizmem grup. Wyznaczy膰 jego jadro i obraz |
zorro post贸w: 106 | 2013-03-15 05:48:05 Zbi贸r argument贸w (pokrywa si臋 tu z R) wraz z dodawaniem tworzy grup臋 (Q,+) Tzn. dodawanie jest 艂膮czne, ma element neutralny (0), oraz ka偶dy element q ma element przeciwny (-q). Przeciwdziedzin膮 Z danego odwzorowania jest zbi贸r liczb zespolonych o module r贸wnym jedno艣ci. Zbi贸r Z wraz z mno偶eniem liczb zespolonych te偶 tworzy grup臋 (Z, *) czyli mno偶enie liczb zespolonych (a w szczeg贸lno艣ci liczb o module=1) jest 艂膮czne, ma element neutralny (1+i*0), ka偶dy element ma odpowiedni element przeciwny ($\frac{1}{Z}$). Aby dowie艣膰 homomorfizmu wystarczy sprawdzi膰 czy dla ka偶dych dw贸ch element贸w z Q zachodzi: $\varphi (q_{1}+q_{2})=\varphi (q_{1})*\varphi(q_{2})$ Prawa strona: $P = (cos(2\pi q_{1})+isin(2\pi q_{1}))*(cos(2\pi q_{2})+isin(2\pi q_{2}))$ $P=cos(2\pi q_{1})*cos(2\pi q_{2})-sin(2\pi q_{1})*sin(2\pi q_{2}) + i(cos(2\pi q_{1})*sin(2\pi q_{2})+sin(2\pi q_{1})*cos(2\pi q_{2}))$ $P=cos(2\pi (q_{1}+q_{2}))+i*sin(2\pi (q_{1}+q_{2})) = L$ Wida膰, 偶e je艣li wyjdziemy od strony lewej to te偶 na podstawie w艂asno艣ci funkcji trygonometrycznych dojdziemy do strony prawej warunku c.n.d. Aby wyznaczy膰 j膮dro wystarczy znale藕膰 dla jakich q ze zbioru Q obraz elementu staje si臋 elementem neutralnym w grupie (Z,*) Elementem neutralnym jest (1+i*0) wi臋c: $\left\{\begin{matrix} cos(2\pi q)=1 \\ sin(2\pi q)=0 \end{matrix}\right.$ St膮d $2\pi q=2k\pi \Rightarrow q=k={0,\pm 1,\pm 2,...}$ Zatem j膮drem homomorfizmu jest zbi贸r liczb ca艂kowitych C. Obrazem zbioru Q jest okr膮g w p艂aszczy藕nie zespolonej o promieniu r贸wnym 1 (modu艂y wszystkich liczb zespolonych przeciwdziedziny wynosz膮 1) i 艣rodku w punkcie (0,0) uk艂adu. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2013-03-17 23:22:51 przez zorro |
kamilka12345 post贸w: 28 | 2013-03-17 17:55:40 a nie m贸g艂by艣 tego po postu zapisa膰 ,. bo ja naprawd臋 nie wiem o ci chodzi |
zorro post贸w: 106 | 2013-03-17 23:22:06 Dow贸d to dok艂adnie sprawdzenie powy偶szego warunku. Wszystko masz tam zapisane. (P=L i L=P) Wyznaczenie j膮dra chyba te偶 jest jasne. Je艣li \"E\" jest elementem neutralnym w zbiorze liczb zespolonych to szukamy takich q, dla kt贸rych b臋dzie $\varphi (q)=E$ wi臋c $cos(2\pi q)+i*sin(2\pi q)=1+i0$ por贸wnuj膮c cz臋艣膰 rzeczywist膮 i urojon膮 mamy uk艂ad r贸wna艅 jak powy偶ej i wyliczamy, 偶e q=dowolnej liczbie ca艂kowitej. Rzeczywi艣cie je艣li wstawisz np. q=1 b臋dzie $\varphi (q)=cos(2\pi)+i*sin(2\pi)=1+i0$ Kiedy szukamy obrazu, wida膰 ze wzoru 偶e s膮 to liczby zespolone: $\forall_{q\in Q}\varphi :q \rightarrow cos(2\pi*q)+i*sin(2\pi*q)$ cz臋艣膰 rzeczywista $a=cos(2\pi*q)$ cz臋艣膰 urojona $b=sin(2\pi*q)$ Modu艂 takiej liczby to: $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{cos^{2}(2\pi*q)+sin^{2}(2\pi*q)}=\sqrt{1}=1$ Dane przez odwzorowanie liczby zespolone s膮 w postaci trygonometrycznej, wi臋c argumentem jest k膮t $2\pi*q$ Poniewa偶 q jest dowoln膮 liczb膮 rzeczywist膮 wi臋c i k膮t jest dowolny. Zgodnie z przedstawieniem geometrycznym liczby zespolonej - para (a,b), wida膰 偶e rami臋 k膮ta (r贸wne modu艂owi czyli 1) zakre艣la pe艂ny obr贸t ju偶 dla q z przedzia艂u <0,1>. Dalej ju偶 b臋d膮 kolejne obroty. Zatem: $q\in <0,1> \Rightarrow 2\pi q \in<0, 2\pi>$ Wniosek $\forall_{q\in Q}\varphi (q)=z\in Z \wedge |z|=1 \wedge Arg(z)\in R$ |
kamilka12345 post贸w: 28 | 2013-03-18 22:48:02 m贸g艂by艣 wyznaczy膰 obraz homomorfizmu i wyt艂umaczy膰 dlaczego jest on tyle r贸wny, a tak偶e napisa膰 jak膮 obraz jest grup膮 i dlaczego w艂a艣nie tak膮 |
zorro post贸w: 106 | 2013-03-21 16:51:54 Wszystko masz ju偶 napisane powy偶ej. Ale powt贸rz臋 raz jeszcze: Grupy: Q=(Q,+) gdzie: $Q=R\space\space$ zbi贸r to偶samy ze zbiorem liczb rzeczywistych $+$ : dodawanie w R czyli dzia艂anie dwuargumentowe, kt贸re spe艂nia 3 warunki istnienia grupy (wiemy, 偶e dodawanie w R jest 艂膮czne, ma element neutralny = 0, ka偶dy element q ma w tym zbiorze ement symetryczny =-q) Z=(Z,*)gdzie: $Z=Z-${$(0+i0)$} - zbi贸r to偶samy ze zbiorem liczb zespolonych z pomini臋ciem 0. $*$ : mno偶enie w Z czyli dzia艂anie dwuargumentowe, kt贸re spe艂nia 3 warunki istnienia grupy (wiemy z podstawowych w艂asno艣ci liczb zespolonych, 偶e mno偶enie w Z jest 艂膮czne, ma element neutralny = 1 =1+i0, ka偶dy element z ma w tym zbiorze ement symetryczny =$\frac{1}{z}$, z=0 pomin臋li艣my przy definicji tej grupy) Homomorfizm: Przekszta艂cenie $\varphi$ jest homomorfizmem grup gdy偶 zachodzi wz贸r, kt贸ry poda艂em powy偶ej (to w艂a艣nie jest dow贸d). J膮dro: $ker\varphi=${$q\in Q:\varphi (q)=E$} st膮d wynika, 偶e j膮drem b臋d膮 wszystkie liczby q spe艂niaj膮ce r贸wnanie: $cos(2\pi q)+i*sin(2\pi q)=1+i*0$ co jest r贸wnowa偶ne uk艂adowi r贸wna艅: $\left\{\begin{matrix} cos(2\pi q)=1 \\ sin(2\pi q)=0 \end{matrix}\right.$ sk膮d $q={0,\pm 1,\pm 2, \pm 3 ... }$ - jest to zbi贸r liczb ca艂kowitych $ker\varphi=${$0,\pm 1,\pm 2, \pm 3 ... $}=C Obraz: $im\varphi =${$z\in Z:\exists_{q\in Q}\varphi (q)=z$} st膮d wynika, 偶e szukamy po prostu przeciwdziedziny odwzorowania $\varphi$ Ze wzoru na odwzorowanie wynika ,偶e: $im\varphi =${$z\in Z:|z|=1$} poniewa偶 zawsze $\sqrt{cos^{2}\alpha + sin^2\alpha}=1$ Obraz $im\varphi$ jest PODGRUP膭 grupy (Z,*) zdefiniowanej powy偶ej, dlatego, 偶e: 1.$im\varphi \subset Z$ 2.$(im\varphi ,*)$ spe艂nia warunki istnienia grupy tzn: - 艂膮czno艣膰 (mno偶enie liczb zespolonych jest 艂膮czne wi臋c tak偶e mno偶enie liczb zespolonych o module=1 jest 艂膮czne) - istnieje element neutralny mianowicie E=(1+i*0), kt贸ry nale偶y do obrazu ($|(1+i0)|=1\Rightarrow E\in im\varphi$) - ka偶dy element obrazu ma element symetryczny, kt贸ry te偶 nale偶y do tego obrazu mianowicie $z\'=\frac{1}{z}$ Poniewa偶: $\frac{1}{z}=\frac{1}{|z|}(cos\alpha+isin\alpha)=1(cos\alpha+isin\alpha)$ wi臋c: $|cos\alpha+isin\alpha|=\sqrt{cos^{2}\alpha+sin^{2}\alpha}=1\Rightarrow \frac{1}{z}\in im\varphi$ Mo偶na jeszcze doda膰, 偶e poniewa偶 mno偶enie liczb zespolonych jest przemienne, to obraz stanowi tak偶e grup臋 Abelow膮, czyli przemienn膮. Ja艣niej ju偶 nie jestem w stanie tego poda膰. Przeczytaj wszystko uwa偶nie, my艣l臋, 偶e za艂apiesz. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2013-03-22 02:59:40 przez zorro |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj