Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 1182

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mat12 postów: 221	2013-03-11 17:04:14 Znaleźć całkę ogólną równania: 2x-y+(4x-2y+3)$\frac{dy}{dx}$ = 0 wyliczam: $\frac{dy}{dx}$= - $\frac{2x-y}{4x-2y+3}$ podstawienie: u=2x-y $\frac{du}{dx}$= 2 - $\frac{dy}{dx}$ $\frac{dy}{dx}$= 2 - $\frac{du}{dx}$ 2 - $\frac{du}{dx}$ = - $\frac{u}{2u+3}$ $\frac{du}{dx}$= $\frac{5u+6}{2u+3}$ $\int\frac{2u+3}{5u+6}du = \int dx$ $\int\frac{2u}{5u+6}du+ \int\frac{3}{5u+6}du = \int dx$ mam problem z pierwszą całką druga to 3ln\|5u+6\| trzecia to x wynik końcowy to: 5x+10y+C=3ln\|10x-5y+6\| bardzo proszę o pomoc w obliczeniu pierwszej całki:) z góry dziękuję

zorro postów: 106	2013-03-11 18:04:56 Pierwsza całka: $\int_{}^{}\frac{2u}{5u+6}du=\int_{}^{}\frac{\frac{2}{5}u}{u+\frac{6}{5}}du=\frac{2}{5}\int_{}^{}\frac{u+\frac{6}{5}-\frac{6}{5}}{u+\frac{6}{5}}du=\frac{2}{5}(\int_{}^{}du-\frac{6}{5}\int_{}^{}\frac{du}{u+\frac{6}{5}})=\frac{2}{5}(u-\frac{6}{5}ln\|u+\frac{6}{5}\|+C_{0})=$ $\frac{2}{5}(u-\frac{6}{5}ln\|\frac{5u+6}{5}\|+c_{0}=\frac{2}{5}(u-\frac{6}{5}ln\|5u+6\|-\frac{6}{5}ln5+c_{0})$ Oznaczając $c_{1}=\frac{2}{5}(c_{0}-\frac{6}{5}ln5) \space\space$ mamy: $\int_{}^{}\frac{2u}{5u+6}du=\frac{2}{5}(u-\frac{6}{5}ln\|5u+6\|)+c_{1}$ Natomiast druga to: $\int_{}^{}\frac{3}{5u+6}du=\frac{3}{5}ln\|5u+6\|+c_{2}$ trzecia to: $x+c_{3}$ Wstawiając na powrót u=2x-y Mamy równanie: $\frac{2}{5}(2x-y-\frac{6}{5}ln\|10x-5y+6\|)+c_{1}+\frac{3}{5}ln\|10x-5y+6\|+c_{2}=x+c_{3}$ Po wymnożeniu obu stron przez 25 oraz redukcji wyrazów podobnych mamy: $3ln\|10x-5y+6\|=5x+10y+25(c_{3}-c_{1}-c_{2})$ Składnik stały zastępujemy przez C: $5x+10y+C=3ln\|10x-5y+6\|$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj