logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 1182

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mat12
postów: 221
2013-03-11 17:04:14

Znaleźć całkę ogólną równania:
2x-y+(4x-2y+3)$\frac{dy}{dx}$ = 0

wyliczam: $\frac{dy}{dx}$= - $\frac{2x-y}{4x-2y+3}$
podstawienie: u=2x-y
$\frac{du}{dx}$= 2 - $\frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$= 2 - $\frac{du}{dx}$
2 - $\frac{du}{dx}$ = - $\frac{u}{2u+3}$
$\frac{du}{dx}$= $\frac{5u+6}{2u+3}$
$\int\frac{2u+3}{5u+6}du = \int dx$
$\int\frac{2u}{5u+6}du+ \int\frac{3}{5u+6}du = \int dx$

mam problem z pierwszą całką
druga to 3ln|5u+6|
trzecia to x

wynik końcowy to: 5x+10y+C=3ln|10x-5y+6|

bardzo proszę o pomoc w obliczeniu pierwszej całki:)
z góry dziękuję


zorro
postów: 106
2013-03-11 18:04:56

Pierwsza całka:
$\int_{}^{}\frac{2u}{5u+6}du=\int_{}^{}\frac{\frac{2}{5}u}{u+\frac{6}{5}}du=\frac{2}{5}\int_{}^{}\frac{u+\frac{6}{5}-\frac{6}{5}}{u+\frac{6}{5}}du=\frac{2}{5}(\int_{}^{}du-\frac{6}{5}\int_{}^{}\frac{du}{u+\frac{6}{5}})=\frac{2}{5}(u-\frac{6}{5}ln|u+\frac{6}{5}|+C_{0})=$
$\frac{2}{5}(u-\frac{6}{5}ln|\frac{5u+6}{5}|+c_{0}=\frac{2}{5}(u-\frac{6}{5}ln|5u+6|-\frac{6}{5}ln5+c_{0})$
Oznaczając $c_{1}=\frac{2}{5}(c_{0}-\frac{6}{5}ln5) \space\space$ mamy:
$\int_{}^{}\frac{2u}{5u+6}du=\frac{2}{5}(u-\frac{6}{5}ln|5u+6|)+c_{1}$
Natomiast druga to:
$\int_{}^{}\frac{3}{5u+6}du=\frac{3}{5}ln|5u+6|+c_{2}$
trzecia to:
$x+c_{3}$
Wstawiając na powrót u=2x-y
Mamy równanie:
$\frac{2}{5}(2x-y-\frac{6}{5}ln|10x-5y+6|)+c_{1}+\frac{3}{5}ln|10x-5y+6|+c_{2}=x+c_{3}$
Po wymnożeniu obu stron przez 25 oraz redukcji wyrazów podobnych mamy:
$3ln|10x-5y+6|=5x+10y+25(c_{3}-c_{1}-c_{2})$
Składnik stały zastępujemy przez C:
$5x+10y+C=3ln|10x-5y+6|$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 19 drukuj