Statystyka, zadanie nr 1185
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
knapiczek post贸w: 112 |  2013-03-11 19:58:41Dwoje znajomych umawia sie w pewnym miejscu. Kazdy ma przyjsc w dowolnej chwili miedzy godz. 15.00, a 16.00 i czekac na drugiego przez 20 minut. Jakie jest prawdopodobienstwo,ze sie spotkaja? |
zorro post贸w: 106 | 2013-03-13 06:26:23 To jest ciekawskie zadanie. Na og贸艂 nie mam sentymentu tego dzia艂u matmy, ale pog艂贸wkujmy: 1. Nie jest zupe艂nie jasne w zadaniu, czy koledzy zgadali si臋 co do sp贸藕nie艅 tzn. Czy je艣li kt贸ry艣 przyjdzie np. tu偶 przed 16.00, a drugiego jeszcze nie b臋dzie, to czy pierwszy b臋dzie czeka艂 jeszcze 20 minut? Wtedy ka偶dy z nich musia艂by wiedzie膰, 偶e drugi mo偶e si臋 sp贸藕ni膰 max 20 minut. Wyd艂u偶a to rozwa偶any przedzia艂 czasu o 20 minut. 2.Je艣li ka偶dy MUSI przyj艣膰 na czas, to musimy przyj膮膰, 偶e okres czekania wynosi 20 min lub kr贸cej (gdy偶 kiedy zegar wybije 16.00 nie ma sensu czeka膰, bo drugi i tak nie przyjdzie). Rozwa偶my najpierw wersj臋 2 bo wydaje mi si臋, 偶e taka jest intencja autora zadania: Ka偶dy z koleg贸w mo偶e pojawi膰 si臋 w miejscu spotkania o 15.00 Ka偶dy z koleg贸w opu艣ci miejsce spotkania nie p贸藕niej jak o 16.00 Wykonujemy rysunek pomocniczy w uk艂adzie wsp贸艂rz臋dnych. Dla uproszczenia niech: $0$ - odpowiada czasowi przyj艣cia (15.00) $1$ - odpowiada pe艂nej godzinie (16.00) w贸wczas interwa艂 $\frac{1}{3}$ - odpowiada czasowi 20 minut Na osi x zaznaczamy czas $<0,1>$ pierwszego kolegi Na osi y zaznaczamy czas $<0,1>$ drugiego kolegi Pole powsta艂ego kwadratu odzwierciedla wszystkie mo偶liwe zdarzenia. Odcinki prostych wewn膮trz tego kwadratu opisuj膮: $y=x$ - zdarzenia w kt贸rych obydwaj przyszli jednocze艣nie $y=x+\frac{1}{3}$ - zdarzenia w kt贸rych drugi z koleg贸w pojawi艂 si臋 dok艂adnie w momencie gdy pierwszy opuszcza艂 miejsce spotkania $y=x-\frac{1}{3}$ - zdarzenia w kt贸rych pierwszy z koleg贸w pojawi艂 si臋 dok艂adnie w momencie gdy drugi opuszcza艂 miejsce spotkania Pole ograniczone kwadratem oraz le偶膮ce mi臋dzy prostymi: $y=x-\frac{1}{3}$ oraz $y=x+\frac{1}{3}$ Odpowiada zdarzeniom sprzyjaj膮cym Prawdopodobie艅stwo b臋dzie wynosi膰 tyle ile wynosi to pole w odniesieniu do pola kwadratu. Z rysunku wida膰, 偶e szukane pole to pole kwadratu pomniejszone o dwa tr贸jk膮ty prostok膮tne o przyprostok膮tnych r贸wnych $\frac{2}{3}$ $p=\frac{1-\frac{2}{3}*\frac{2}{3}}{1}=\frac{5}{9}$ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2013-03-13 06:44:51 przez zorro |
zorro post贸w: 106 | 2013-03-13 06:40:28 Teraz rozwa偶my wersj臋 1. Ka偶dy z koleg贸w mo偶e pojawi膰 si臋 w miejscu spotkania o 15.00 Ka偶dy z koleg贸w opu艣ci miejsce spotkania nie p贸藕niej jak o 16.20 Wykonujemy podobny rysunek jak poprzednio z tym, 偶e: Na osi x zaznaczamy czas $<0,\frac{4}{3}>$ pierwszego kolegi Na osi y zaznaczamy czas $<0,\frac{4}{3}>$ drugiego kolegi Utworzymy kwadrat o polu $S=(\frac{4}{3})^{2}=\frac{16}{9}$ Odcinki prostych wymienionych wy偶ej i ograniczonych tym kwadratem wyznaczaj膮 pole odpowiadaj膮ce zdarzeniom sprzyjaj膮cym. Z rysunku wida膰, 偶e szukane pole to pole kwadratu pomniejszone o dwa tr贸jk膮ty prostok膮tne o przyprostok膮tnych r贸wnych $1$ Zatem: $p=\frac{\frac{16}{9}-1}{\frac{16}{9}}=\frac{7}{16}$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj