logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Statystyka, zadanie nr 1185

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

knapiczek
postów: 112
2013-03-11 19:58:41

Dwoje znajomych umawia sie w pewnym miejscu. Kazdy ma przyjsc w dowolnej chwili miedzy godz. 15.00, a 16.00 i czekac na drugiego przez 20 minut. Jakie jest prawdopodobienstwo,ze sie spotkaja?


zorro
postów: 106
2013-03-13 06:26:23

To jest ciekawskie zadanie. Na ogół nie mam sentymentu tego działu matmy, ale pogłówkujmy:
1. Nie jest zupełnie jasne w zadaniu, czy koledzy zgadali się co do spóźnień tzn. Czy jeśli któryś przyjdzie np. tuż przed 16.00, a drugiego jeszcze nie będzie, to czy pierwszy będzie czekał jeszcze 20 minut?
Wtedy każdy z nich musiałby wiedzieć, że drugi może się spóźnić max 20 minut. Wydłuża to rozważany przedział czasu o 20 minut.

2.Jeśli każdy MUSI przyjść na czas, to musimy przyjąć, że okres czekania wynosi 20 min lub krócej (gdyż kiedy zegar wybije 16.00 nie ma sensu czekać, bo drugi i tak nie przyjdzie).

Rozważmy najpierw wersję 2 bo wydaje mi się, że taka jest intencja autora zadania:
Każdy z kolegów może pojawić się w miejscu spotkania o 15.00
Każdy z kolegów opuści miejsce spotkania nie później jak o 16.00

Wykonujemy rysunek pomocniczy w układzie współrzędnych.
Dla uproszczenia niech:
$0$ - odpowiada czasowi przyjścia (15.00)
$1$ - odpowiada pełnej godzinie (16.00)
wówczas interwał
$\frac{1}{3}$ - odpowiada czasowi 20 minut

Na osi x zaznaczamy czas $<0,1>$ pierwszego kolegi
Na osi y zaznaczamy czas $<0,1>$ drugiego kolegi
Pole powstałego kwadratu odzwierciedla wszystkie możliwe zdarzenia.

Odcinki prostych wewnątrz tego kwadratu opisują:
$y=x$ - zdarzenia w których obydwaj przyszli jednocześnie
$y=x+\frac{1}{3}$ - zdarzenia w których drugi z kolegów pojawił się dokładnie w momencie gdy pierwszy opuszczał miejsce spotkania
$y=x-\frac{1}{3}$ - zdarzenia w których pierwszy z kolegów pojawił się dokładnie w momencie gdy drugi opuszczał miejsce spotkania
Pole ograniczone kwadratem oraz leżące między prostymi:
$y=x-\frac{1}{3}$ oraz $y=x+\frac{1}{3}$
Odpowiada zdarzeniom sprzyjającym
Prawdopodobieństwo będzie wynosić tyle ile wynosi to pole w odniesieniu do pola kwadratu.

Z rysunku widać, że szukane pole to pole kwadratu pomniejszone o dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnych równych $\frac{2}{3}$

$p=\frac{1-\frac{2}{3}*\frac{2}{3}}{1}=\frac{5}{9}$



Wiadomość była modyfikowana 2013-03-13 06:44:51 przez zorro

zorro
postów: 106
2013-03-13 06:40:28

Teraz rozważmy wersję 1.
Każdy z kolegów może pojawić się w miejscu spotkania o 15.00
Każdy z kolegów opuści miejsce spotkania nie później jak o 16.20

Wykonujemy podobny rysunek jak poprzednio z tym, że:
Na osi x zaznaczamy czas $<0,\frac{4}{3}>$ pierwszego kolegi
Na osi y zaznaczamy czas $<0,\frac{4}{3}>$ drugiego kolegi

Utworzymy kwadrat o polu
$S=(\frac{4}{3})^{2}=\frac{16}{9}$

Odcinki prostych wymienionych wyżej i ograniczonych tym kwadratem
wyznaczają pole odpowiadające zdarzeniom sprzyjającym.
Z rysunku widać, że szukane pole to pole kwadratu pomniejszone o dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnych równych $1$
Zatem:

$p=\frac{\frac{16}{9}-1}{\frac{16}{9}}=\frac{7}{16}$



strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 19 drukuj