Algebra, zadanie nr 1193

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
kasia112 postów: 9	2013-03-16 14:58:37 Ekstrema i monotoniczność funkcji: $e^{x}(x^{2}-8)$ czy ktoś mi pomoże?

zorro postów: 106	2013-03-17 06:30:44 Dziedzina: $x\in R$ Miejsca zerowe: $e^{x}(x^2-8)=0 \iff (x^2-8)=0$ $(x+2\sqrt{2})(x-2\sqrt{2})$ $x_{1}=-2\sqrt{2}$ $x_{2}=2\sqrt{2}$ Przecięcia z OY: $y_{0}=f(0)=e^{0}(0^2-8)=-8$ Granice: $\lim_{x \to -\infty}e^{x}(x^2-8)=0$ W $-\infty $ funkcja asymptotycznie zbliża się do 0 od strony dodatniej (tzn $0<f(x)\rightarrow 0 $) . Asymptotą jest oś ox. $\lim_{x \to \infty}e^{x}(x^2-8)=\infty$ Pochodna: $(e^{x}(x^2-8))'=e^{x}(x^{2}-8)+e^{x}*2x=e^{x}(x^{2}+2x-8)$ Badanie znaku pochodnej: $e^{x}(x^{2}+2x-8)<0 \iff (x^{2}+2x-8)<0 $ $e^{x}(x^{2}+2x-8)>0 \iff (x^{2}+2x-8)>0 $ $e^{x}(x^{2}+2x-8)=0 \iff (x^{2}+2x-8)=0 $ Wobec tego, że $e^{x}>0 $ zawsze, znak pochodnej zależy tylko od znaku funkcji kwadratowej Znajdujemy pierwiastki pochodnej: $(x^{2}+2x-8)=0$ $(x+4)(x-2)=0$ $x=-4 \vee x=2$ Ramiona paraboli skierowane są w górę, więc mamy następujące przedziały monotoniczności: Dla $ x\in(-\infty,-4) \Rightarrow f'(x)>0 \Rightarrow $ funkcja rosnąca Dla $ x\in(-4,2) \Rightarrow f'(x)<0 \Rightarrow $ funkcja malejąca Dla $x\in(2,\infty) \Rightarrow f'(x)>0 \Rightarrow $ funkcja rosnąca Punktami podejrzanymi o extrema są -4 i 2. Na podstawie zbadanych przedziałów monotoniczności, oraz ciągłości tej funkcji w całej dziedzinie (iloczyn funkcji ciągłych), wnioskujemy, że: Dla $x=-4 \Rightarrow $ funkcja ma maximum lokalne mianowicie $f(-4)=e^{-4}(16-8)=\frac{8}{e^{4}}$ Dla $x=2 \Rightarrow $ funkcja ma minimum lokalne mianowicie $f(2)=e^{2}(4-8)=-4e^{2}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj