logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 122

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

prorok91
postów: 1
2011-04-28 14:16:32

witam! Mam zadanie a nie wiem jak się do niego zabrać
1.Zbadać funkcję i wykonać jej wykres
a) $y=\frac{x^{3}+2}{x^{2}+1}$
b)$y=ln(x^{2}-2x+5)$
prosiłbym o pokazanie na chociaż jednym z tych przykładów jak to zrobić
1.wyznaczyć dziedzinę funkcji
2.parzystość funkcji
3.granice(asymptoty)
4.punkty szczególne (przecięcia z osiami)
5.analiza pierwszej pochodnej
6.analiza drugiej pochodnej
7.tabela z przedziłami zmienności funkcji

Wiadomość była modyfikowana 2011-04-28 14:23:28 przez prorok91

tumor
postów: 8070
2016-08-30 17:25:13

a) $\frac{x^3+2}{x^2+1}$
dziedziną jest R, funkcja nie jest parzysta ani nieparzysta (wystarczy policzyć wartości dla -1 i 1)
Granicą w $+\infty$ jest $+\infty$, w $-\infty$ jest $-\infty$. Dostajemy to na przykład z twierdzenia o trzech (dwóch) ciągach.
Granicą w $\pm \infty$ wyrażenia $\frac{f(x)}{x}$ jest 1, granicą wyrażenia
$f(x)-1x$ jest w $\pm \infty$ liczba 0. Wobec tego obustronną asymptotą ukośną jest $y=1x+0$.
Przecięcie z osią OY jest w punkcie (0,f(0)), jak zawsze, natomiast z osią OX jest w (x,0) dla takiego x, dla którego zeruje się licznik $x^3+2$
$f`(x)=(3x^2)(x^2+1)^{-1}-1(x^2+1)^{-2}*2x*(x^3+2)=(x^2+1)^{-2}[3x^4+3x^2-2x^4+4x]$
Miejsca zerowe pochodnej są dość oczywiste, to wielomian łatwy do rozłożenia.
Drugiej pochodnej mi się nie chce liczyć, ale to po prostu podstawienie do wzorów.
Każda pochodna będzie ciągła w R.
b) $f(x)=ln(x^2-2x+5)$
dziedziną jest R, brak parzystości i nieparzystości (jak poprzednio łatwy kontrprzykład)
Granicą w $\pm \infty$ jest $+\infty$.
Granicą wyrażenia $\frac{f(x)}{x}$ jest w $\pm \infty$ liczba 0.
Granicą wyrażenia $f(x)-0x$ jest w $\pm \infty$ również $+\infty$, wobec czego nie ma asymptot ukośnych.
Punkt przecięcia z OY jak wyżej. Punkt przecięcia z OX to (x,0) dla każdego x, dla którego $x^2-2x+5=1$, takich x nie ma.
$f`(x)=\frac{2x-2}{x^2-2x+5}$ zeruje się w x=1 i mamy tam zmianę znaku pochodnej, czyli ekstremum.
$f``(x)=\frac{2x^2-4x+10-4x^2+8x-4)}{(x^2-2x+5)^2}$


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj