Analiza matematyczna, zadanie nr 1226
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
popopo post贸w: 5 |  2013-03-27 11:17:031) Pokaza膰, 偶e funkcja f : $R^{2}$$\rightarrow$R, okre艣lona w nast臋puj膮cy spos贸b : f(x,y) = $\left\{\begin{matrix} \frac{xy}{x^2 + y^2} dla (x,y)\neq (0,0)\\ 0 dla x = y = 0 \end{matrix}\right.$ jest nieci膮g艂a w punkcie (0,0). 2) Zbada膰 ci膮g艂o艣膰 funkcji f : (-1, + $\infty$)$\rightarrow$R, okre艣lonej wzorem f(x) = $\lim_{n \to \infty}$ $\frac{x^2}{1 + x^n}$ 3) Dobra膰 a $\in$ R tak, 偶eby funkcja f(x) = $\left\{\begin{matrix} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} dla x \neq 0 i x\ge -1\\a dla x = 0\end{matrix}\right.$ by艂a ci膮g艂a na < -1, $\infty$). |
55555 post贸w: 60 | 2013-03-28 14:05:22 Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2013-03-28 14:06:22 przez 55555 |
popopo post贸w: 5 | 2013-03-28 14:07:36 w 1) ma by膰 0 dla x = y = 0 w 2) a dla x = 0 |
tumor post贸w: 8070 | 2013-03-28 16:30:47 1) we藕my $y_n=x_n=\frac{1}{n}$ $(x_n,y_n)\rightarrow (0,0) \iff n \rightarrow \infty$ $\lim_{n \to \infty}f(x_n,y_n)=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{2}{n^2}}=\frac{1}{2}$ Podczas gdy $f(0,0)=0$ (gdyby by艂a ci膮g艂a, to niezale偶nie od dobranego ci膮gu $x_n,y_n$ zbie偶nego do $0,0$ granica $f(x_n,y_n)$ musia艂aby by膰 r贸wna $f(0,0)$) |
tumor post贸w: 8070 | 2013-03-28 16:40:41 2) je艣li $|x|<1$ to $x^n \to 0$, czyli $ f(x)=\lim_{n \to \infty}x^2=x^2$ (czyli na pewno ci膮g艂a na $(-1,1)$) je艣li $x=1$ to $f(x)=\lim_{n \to \infty}\frac{x^2}{1+x^n}=\frac{1}{2}$ je艣li $x>1$ to $f(x)=\lim_{n \to \infty}\frac{x^2}{1+x^n}=0$ (czyli ci膮g艂a w $(1,\infty)$) Natomiast w $x=1$ ci膮g艂a nie jest, bo granice jednostronne $ \lim_{x \to 1-}f(x)=\lim_{x \to 1-}x^2=1$ $\lim_{x \to 1+}f(x)=\lim_{x \to 1+}0=0$ s膮 r贸偶ne od $f(1)$. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-03-28 16:48:49 3) poza $x=0$ ci膮g艂a jako iloraz/suma/z艂o偶enie funkcji ci膮g艂ych. Potrzebujemy, by jeszcze by艂a ci膮g艂a w $x=0$. Mamy $f(0)=a$. $\lim_{x \to 0}f(x)=\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}= \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}*\frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1}=\lim_{x \to 0}\frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)} =\lim_{x \to 0}\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}=\frac{1}{2}$ by prawdziwa by艂a r贸wno艣膰 $f(0)=\lim_{x \to 0}f(x)$ musimy mie膰 $a=\frac{1}{2}$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj