Analiza matematyczna, zadanie nr 1228
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
popopo post贸w: 5 |  2013-03-30 17:43:371) Znale藕膰 granice lewostronn膮 i prawostronn膮 nast臋puj膮cych funkcji : a) $\frac{x}{a}$ $[\frac{b}{x}]$ w punkcie x = 0 b) $\frac{e^\frac{1}{x}-1}{e^\frac{1}{x}+1}$ c) x$e^{\frac{1}{x}}$ w punkcie x = 0 d) $\frac{b}{x}$ $[\frac{x}{a}]$ w punkcie x = 0 e) $e^{\frac{1}{1 - x^3}}$ w punkcie x = 1 f) $\frac{x}{2x + e^{\frac{1}{x-1}}}$ g)$\frac{x}{1 + e^{\frac{1}{x}}}$ w punkcie x = 0 h) $\frac{2^\frac{1}{x} + 3}{3^\frac{1}{x} + 2}$ w punkcie x = 0 i) $\frac{1}{2^x-a}$ w punkcie x = a w c) e^1/x, w e) 1/e^(1-x^3), w h) (2^1/x +3)/(3^1/x + 2), w i) 2^x, napisa艂am to, co mo偶e by膰 nie do odczytania Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2013-03-30 17:49:27 przez popopo |
tumor post贸w: 8070 | 2013-03-31 19:29:20 Og贸lnie traktuj臋 sta艂e jako dodatnie. Je艣li chcemy dopu艣ci膰 dowolne ich warto艣ci, to najcz臋艣ciej do moich rozwi膮za艅 trzeba doda膰 jeszcze poprawki. a) zauwa偶amy, 偶e $\frac{b}{x}-1 \le [\frac{b}{x}] \le \frac{b}{x}+1$ $\lim_{x \to 0}\frac{x}{a}*(\frac{b}{x}\pm 1)= \lim_{x \to 0}\frac{x}{a}*\frac{b}{x}\pm \frac{x}{a}=\frac{b}{a}$ U偶ywamy twierdzenia o trzech funkcjach, a jak mamy granic臋, to granice jednostronne uzyskujemy z twierdzenia o uzyskiwaniu granic jednostronnych z granicy. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-03-31 19:29:30 d) tu przede wszystkim zauwa偶amy, jak r贸偶ni si臋 ten przyk艂ad od powy偶szego. Powy偶ej nieistotna by艂a pewna terminologiczna uwaga na temat funkcji $[x]$. Ot贸偶 do艣膰 cz臋sto definiuje si臋 warto艣膰 funkcji jako $[x]=max\{z\in Z: z\le x\}$, co odpowiada definicji funkcji pod艂oga (floor). Zdarza si臋 jednak i definicja odmienna, tzn. $[x]=\left\{\begin{matrix} max\{z\in Z: z\le x\} \mbox{ dla } x\ge 0\\ min\{z\in Z: z\ge x\} \mbox{ dla } x<0 \end{matrix}\right.$ Zatem zrobi臋 tu oba przypadki, ale w przysz艂o艣ci raczej pisz tak偶e definicje tego, czego u偶ywasz, a zamiast ca艂o艣ci/cechy u偶ywaj pod艂ogi i sufitu. :) 1) pierwsza definicja (czyli pod艂oga). W贸wczas dla $x\in (-a,0)$ mamy $[\frac{x}{a}]=-1$ natomiast dla $x\in (0,a)$ mamy $[\frac{x}{a}]=0$ St膮d $\lim_{x \to 0-}\frac{b}{x}[\frac{x}{a}]=\lim_{x \to 0-}\frac{-b}{x}=-\infty$ $ \lim_{x \to 0+}\frac{b}{x}*0=0$ 2) druga definicja Tu b臋dzie pro艣ciej, bo dla $x\in (-a,a)$ mamy $[\frac{x}{a}]=0$ czyli granica w $x=0$ r贸wna $0$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-03-31 19:36:18 c) $xe^\frac{1}{x}=\frac{e^\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}$ Podstawmy $y=\frac{1}{x}$ Mamy $\lim_{x \to 0+}xe^\frac{1}{x}=\lim_{y \to +\infty}\frac{e^y}{y}=+\infty$ (je艣li ta granica nie jest oczywista to z de l\'Hospitala albo z szeregu Taylora dla $e^y$ 艂atwo wyjdzie) $\lim_{x \to 0-}xe^\frac{1}{x}=\lim_{y \to -\infty}\frac{e^y}{y}=0$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-03-31 19:40:18 b) $\frac{e^\frac{1}{x}-1}{e^\frac{1}{x}+1}=1-\frac{2}{e^\frac{1}{x}+1}$ $\lim_{x \to 0-}1-\frac{2}{e^\frac{1}{x}+1}=-1$ $\lim_{x \to 0+}1-\frac{2}{e^\frac{1}{x}+1}=1$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-03-31 19:45:07 e) $\frac{1}{e^{1-x^3}}=e^{x^3-1}$ To funkcja ci膮g艂a, dla $x=1$ mamy $e^{x^3-1}=1$, takie te偶 musz膮 by膰 granice jednostronne. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-03-31 19:51:42 i) $\frac{1}{2^x-a}$ Przede wszystkim zauwa偶amy, 偶e $2^a>a+\frac{1}{666!\pi^ee^\pi}$, zatem dla $x$ nale偶膮cych do pewnego otoczenia punktu $a$ mianownik si臋 nie zeruje, w tym otoczeniu funkcja jest ci膮g艂a, granice jednostronne w $a$ s膮 zatem r贸wne warto艣ci funkcji w $a$, czyli $\frac{1}{2^a-a}$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-03-31 21:57:32 h) $\frac{2^\frac{1}{x}+3}{3^\frac{1}{x}+2}$ Policzmy granic臋 lewostronn膮. Wtedy $2^\frac{1}{x} \rightarrow 0$ $3^\frac{1}{x} \rightarrow 0$ Czyli granica r贸wna $\frac{3}{2}$ Natomiast granic臋 prawostronn膮 mo偶emy zn贸w przez podstawienie. $y=\frac{1}{x}$ $\lim_{x \to 0+}\frac{2^\frac{1}{x}+3}{3^\frac{1}{x}+2}= \lim_{y \to +\infty}\frac{2^y+3}{3^y+2}=0$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-03-31 22:02:25 g) $\frac{x}{1+e^\frac{1}{x}}$ lewostronna $e^\frac{1}{x} \rightarrow 0$ $x \rightarrow 0$ czyli granica lewostronna r贸wna $0$ prawostronna $e^\frac{1}{x} \rightarrow +\infty$ $x \rightarrow 0$ czyli granica prawostronna r贸wna $0$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-04-01 09:48:21 f) $\frac{x}{2x+e^\frac{1}{x-1}}$ Za艂贸偶my, 偶e liczymy w $x=1$ $\lim_{x \to 1+}e^\frac{1}{x-1}=+\infty$ $\lim_{x \to 1-}e^\frac{1}{x-1}=0$ zatem $ \lim_{x \to 1+}\frac{x}{2x+e^\frac{1}{x-1}}=0$ $\lim_{x \to 1-}\frac{x}{2x+e^\frac{1}{x-1}}=\frac{1}{2}$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj