Analiza matematyczna, zadanie nr 1229
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
a1a1a1 post贸w: 28 |  2013-04-02 01:55:531) Okre艣li膰 funkcj臋 f(x) w punkcie x = 0 tak, aby by艂a ona ci膮g艂a a) f (x) = $\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}$ b) f (x) = x sin $\frac{\pi}{x}$ c) f (x) = $\frac{sin^2 x}{1 - cos x}$ 2) obliczy膰 nast臋puj膮ce funkcje : a) $\lim_{x \to 0}$ $(1 - 3x)^{\frac{1}{x}}$ b) $\lim_{x \to 0}$ $\sqrt[x]{1 + sin x}$ c) $\lim_{x \to \frac{1}{2}}$ $\frac{arc sin(1 - 2x)}{4x^2 - 1}$ d) $\lim_{x \to 0}$ $(1 + kx)^{\frac{n}{x}}$ 3) Zbada膰 ci膮g艂o艣膰 nast臋puj膮cych funkcji : a) f (x) = $\frac{x^2 - 25}{x + 5}$ dla x $\neq$ 5 i f (-5) = -10 b) f (x) = $\frac{sin x}{x}$ dla x $\neq$ 0 i f (0) = 1 c) f (x) $\frac{sin x}{|x|}$ dla x $\neq$ 0 i f (0) = 1 d) f (x) = x + $\frac{1}{x}$ e) f (x) = x - $[x]$ f) f (x) = $\frac{x^2 - x^3}{|x - 1|}$ g) f (x) = $[x]$ + $[ - x]$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-04-02 08:10:57 1). Zadanie polega w praktyce na policzeniu granicy funkcji w $x=0$. a) $\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}= \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}*\frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1}=\lim_{x \to 0}\frac{x}{x}*\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}=\frac{1}{2}$ $f(0)=\frac{1}{2}$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-04-02 08:11:19 b) $\lim_{x \to 0}xsin\frac{\pi}{x}=0$ (bo mamy iloczyn funkcji zbie偶nej do 0 i ograniczonej) $f(0)=0$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-04-02 08:11:38 c) $\lim_{x \to 0}\frac{sin^2x}{1-cosx}=\lim_{x \to 0}\frac{1-cos^2x}{1-cosx}=\lim_{x \to 0}\frac{(1-cosx)(1+cosx)}{1-cosx}=2$ $f(0)=2$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-04-02 08:20:25 2. Nie funkcje obliczy膰, a granice funkcji. a) $\lim_{x \to 0}(1-3x)^\frac{1}{x}$ Zauwa偶amy podobie艅stwo tego przyk艂adu do $\lim_{n \to \infty}(1-\frac{1}{n})^n=\frac{1}{e}$ $\lim_{x \to 0}(1-3x)^\frac{1}{x}=\lim_{x \to 0}(1-3x)^{\frac{1}{3x}*3}=\lim_{x \to 0}((1-3x)^\frac{1}{3x})^3=\frac{1}{e^3}$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-04-02 08:23:34 b) $\lim_{x \to 0}(1+sinx)^\frac{1}{x}= \lim_{x \to 0}(1+sinx)^{\frac{1}{sinx}*\frac{sinx}{x}}=e^1=e$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-04-02 08:28:04 c) $\lim_{x \to \frac{1}{2}}\frac{arcsin(1-2x)}{4x^2-1}$ korzystamy z $\lim_{x \to 0}\frac{arcsinx}{x}=1$ $\lim_{x \to \frac{1}{2}}\frac{arcsin(1-2x)}{4x^2-1}= \lim_{x \to \frac{1}{2}}\frac{arcsin(1-2x)}{-(1-2x)(1+2x)}=-\frac{1}{2}$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-04-02 08:34:39 d) $\lim_{x \to 0}(1+kx)^\frac{n}{x}$ zak艂adam, 偶e $k,n $ nie s膮 r贸wne $0$ (je艣li kt贸ra艣 jest, to przyk艂ad si臋 bardzo upraszcza i nie robi臋) $\lim_{x \to 0}(1+kx)^{\frac{1}{kx}*kn}=e^{kn}$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-04-02 08:53:41 3) Zn贸w chodzi o policzenie odpowiednich granic. a) $\lim_{x \to -5}\frac{x^2-25}{x+5}= \lim_{x \to -5}\frac{(x-5)(x+5)}{x+5}=-10=f(-5)$ czyli ci膮g艂a |
tumor post贸w: 8070 | 2013-04-02 08:54:29 b) $\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}=1=f(0)$ czyli ci膮g艂a. Natomiast warto wiedzie膰, jak si臋 t臋 granic臋 liczy, wi臋c dodam: geometrycznie (k贸艂ka, tr贸jk膮ty, takie tam) udowadniamy nier贸wno艣膰 $sinx\le x\le tgx \mbox{ dla } x \in (0,\frac{1}{10}) $ dzielimy przez sinx $1\le \frac{x}{sinx}\le \frac{1}{cosx}$ i odwracamy $1 \ge \frac{sinx}{x}\ge cosx$ z tw. o trzech ci膮gach/funkcjach otrzymujemy szukan膮 granic臋. Przypadek symetryczny jest symetryczny, dlatego go liczy膰 nie trzeba. ;) |
| strony: 1 2 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj