Analiza matematyczna, zadanie nr 1235
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
popopo post贸w: 5 |  2013-04-03 15:51:421) Niech f : R $\rightarrow$ R b臋dzie okre艣lona nast臋puj膮co : f(x) = $\left\{\begin{matrix} 2 + e^\frac{1}{x}\ dla x < 0 \\ \frac{sin ax}{x}\ dla\ x > 0 \\ \lim_{x \to 0^{-}(2 + e^\frac{1}{x})\ dla\ x = 0 } \end{matrix}\right.$ Dobra膰 parametr a tak, 偶eby funkcja by艂a ci膮g艂a na R. 2) Dobra膰 parametry a, b, c tak, 偶eby funkcja f : R $\rightarrow$ R, okre艣lona w nast臋puj膮cy spos贸b f(x) = $\left\{\begin{matrix} \frac{sin ax}{x} dla\ x < 0 \\ \frac{x^3 - 1}{x^2 + x - 2} dla\ 0 \le x <1 \\ c\ dla\ x = 1 \\ \frac{x^2 + (b - 1)x - b}{x - 1}\ dla\ x > 1 \end{matrix}\right.$ by艂a ci膮g艂a na zbiorze R. 3) Zbada膰 ci膮g艂o艣膰 nast臋puj膮cych funkcji : a) f(x) = sgn(sinx), x $\in$ R, gdzie sgnx = $\left\{\begin{matrix} 1 dla\ x> 0 \\ 0\ dla\ x = 0 \\ -1\ dla\ x < 0 \end{matrix}\right.$ b) f(x) = $\left\{\begin{matrix} sin\pi\ x dla\ x\ wymiernych \\ 0\ dla\ x\ niewymiernych \end{matrix}\right.$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-04-20 08:18:23 1) potrzebujemy mie膰 $\lim_{x \to 0-}2+e^\frac{1}{x}=\lim_{x \to 0+}\frac{sinax}{x}$ czyli $2=a$ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2013-04-20 08:18:57 przez tumor |
tumor post贸w: 8070 | 2013-04-20 08:25:51 2) Potrzebujemy mie膰 $\lim_{x \to 0-}\frac{sinax}{x} = \lim_{x \to 0+}\frac{x^3-1}{x^2+x-2}$ $\lim_{x \to 1-}\frac{x^3-1}{x^2+x-2} =f(1)= \lim_{x \to 1+}\frac{x^2+(b-1)x-b}{x-1}$ czyli $a=\frac{1}{2}$ $1=c=1+b$ czyli $a=\frac{1}{2}$ $b=0$ $c=1$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-04-20 08:30:40 3. a) $f(x)=sgn(sinx)$ Wiemy, 偶e $sinx$ jest dodatni w $(0+2k\pi,\pi+2k\pi)$, tam $f$ ci膮g艂a jako funkcja sta艂a ujemny w $(-\pi+2k\pi,0+2k\pi)$, tam $f$ ci膮g艂a jako funkcja sta艂a a zeruje si臋 w $k\pi$, tam $f$ nie jest ci膮g艂a, bo warto艣膰 funkcji $0$, a granice $\pm 1$ Wsz臋dzie wy偶ej $k\in Z$. :) |
tumor post贸w: 8070 | 2013-04-20 08:35:50 b) Funkcja $f$ w $x=k\pi$ dla $k\in Z$ jest ci膮g艂a, co akurat nietrudno uzasadni膰 i z def. Cauchy\'ego (bo i $0$ i $sinx$ b臋d膮 mie膰 warto艣ci w przedziale epsilonowym) i z def Heinego (bo ci膮gi z przemieszanych warto艣ci 0 i $sinx$ dla $x$ zbie偶nego do $k\pi$ b臋d膮 zbie偶ne do $0$). Poza $k\pi$ funkcja ci膮g艂a nie jest, bo $sinx$ jest wtedy r贸偶ny od $0$ w pewnym otoczeniu punktu $x$, czyli id膮c po wymiernych musimy dostawa膰 granice r贸偶ne od $0$, a po niewymiernych r贸wne $0$. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj