Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 1240

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
zwbtur postów: 5	2013-04-06 16:05:58 Oblicz: 1) $\int_{0}^{1}\frac{dx}{4x^{2}-9}$ 2) $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}}ctgx dx$ 3) $\int_{0}^{2}(\int_{0}^{1}\frac{4xt}{x^{2}+1}dt)dx$

kamil18 postów: 21	2013-04-08 19:26:44 W drugiej całce należy rozbić całkę jako 1$\cdot$ctgx a następnie przez części

zorro postów: 106	2013-04-11 06:22:03 1. $\frac{1}{4x^{2}-9}=\frac{1}{(2x-3)(2x+3)}=\frac{1}{6}(\frac{1}{2x-3}-\frac{1}{2x+3})$ $\int_{0}^{1}\frac{dx}{4x^{2}-9}=\frac{1}{6}(\int_{0}^{1}\frac{dx}{2x-3}-\int_{0}^{1}\frac{1}{2x+3})=I$ niech: $t=2x-3 \Rightarrow dt=2dx \Rightarrow dx=\frac{1}{2}dt$ dla x=0, t=-3 dla x=1, t=-1 $u=2x+3 \Rightarrow du=2dx \Rightarrow dx=\frac{1}{2}du$ dla x=0, u=3 dla x=1, u=5 wówczas szukana całka przyjmuje postać: $I=\frac{1}{6}(\int_{-3}^{-1}\frac{dt}{2t}-\int_{3}^{5}\frac{du}{2u})$ $I=\frac{1}{12}(\int_{-3}^{-1}\frac{dt}{t}-\int_{3}^{5}\frac{du}{u})$ $I=\frac{1}{12}[ln\|-1\|-ln\|-3\|-(ln\|5\|-ln\|3\|)]=\frac{1}{12}(ln1-ln3-ln5+ln3)=-\frac{1}{12}ln5$ Wiadomość była modyfikowana 2013-04-11 06:31:53 przez zorro

zorro postów: 106	2013-04-11 06:43:20 2. $\int_{\pi/2}^{\pi/4}ctgxdx=\int_{\pi/2}^{\pi/4}\frac{cosxdx}{sinx}=I$ Podstawiamy: $t=sinx \Rightarrow dt=cosxdx$ $x=\pi/2 \Rightarrow t=sin(\pi/2)=1$ $x=\pi/4 \Rightarrow t=sin(\pi/4)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ $I=\int_{1}^{\sqrt{2}/2}\frac{dt}{t}=ln\|\frac{\sqrt{2}}{2}\|-ln\|1\|=ln2^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}ln2$

zorro postów: 106	2013-04-11 06:55:55 3. Całka wewnętrzna: $\int_{0}^{1}\frac{4xtdt}{x^{2}+1}=\frac{4x}{x^{2}+1}\int_{0}^{1}tdt=\frac{4x}{x^{2}+1}(\frac{t^{2}}{2}\|_{1}-\frac{t^{2}}{2}\|_{0})=\frac{4x}{x^{2}+1}(\frac{1}{2})=\frac{2x}{x^{2}+1}$ Całka szukana: $\int_{0}^{2}\frac{2xdx}{x^{2}+1}=I$ Podstawiamy: $u=x^{2}+1 \Rightarrow du=2xdx$ $x=0 \Rightarrow u=1$ $x=2 \Rightarrow u=5$ $I=\int_{1}^{5}\frac{du}{u}=ln5-ln1=ln5$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj