logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Inne, zadanie nr 125

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

klaudia1126
postów: 6
2011-05-05 15:27:14

Kolejny zestaw zadań z granic

1.$\lim_{x \to 1}(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3})

2.$\lim_{x \to 0}\frac{sin3x}{2x}

3.$\lim_{x \to 0}\frac{xtg2x}{sin^{2}5x}

4.$\lim_{x \to 0}(\frac{1}{sinx}-\frac{1}{tgx})

5.$\lim_{x \to \pi}\frac{sin3x}{sin2x}


irena
postów: 2639
2011-05-05 17:54:13

1.
$\lim_{x \to 1}(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3})=\lim_{x \to 1}(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{(1-x)(1+x+x^2)}=\lim_{x \to 1}\frac{1+x+x^2-3}{(1-x)(1+x+x^2)}=\lim_{x \to 1}\frac{x^2+x-2}{(1-x)(1+x+x^2)}=$

$=\lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(x+2)}{-(x-1)(1+x+x^2)}=\lim_{x \to 1}\frac{x+2}{-1-x-x^2}=\frac{1+2}{-1-1-1^2}=\frac{3}{-3}=-1$


irena
postów: 2639
2011-05-05 17:56:38

2.
$\lim_{x \to 0}\frac{sin3x}{2x}=\lim_{x \to 0}(\frac{sin3x}{3x}\cdot\frac{3}{2})=\frac{3}{2}\cdot\lim_{x \to 0}\frac{sin3x}{3x}=\frac{3}{2}\cdot1=\frac{3}{2}$

A mieliście regułę de l'Hospitala?

Wiadomość była modyfikowana 2011-05-05 18:13:02 przez irena

klaudia1126
postów: 6
2011-05-05 18:49:32

jeszcze nie, pewnie jutro będzie na wykładach


irena
postów: 2639
2011-05-05 20:16:46

5.
$\lim_{x \to \pi}\frac{sin3x}{sin2x}=\lim_{x \to \pi}\frac{sin2x cosx+sinx cos2x}{2sinx cosx}=\lim_{x \to \pi}\frac{2sinx cos^2x+sinx cos2x}{2sinx cosx}=$
$=\lim_{x \to \pi}\frac{2cos^2x+cos2x}{2cosx}=\frac{2\cdot(-1)^2+1}{-2}=-\frac{3}{2}$

Wiadomość była modyfikowana 2011-05-05 20:17:39 przez irena

irena
postów: 2639
2011-05-05 20:26:28

4.
$\frac{1}{sinx}-\frac{1}{tgx}=\frac{1}{sinx}-\frac{cosx}{sinx}=\frac{1-cosx}{sinx}=$
=$\frac{2sin^2\frac{x}{2}}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}=\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}$

$\lim_{x \to 0}(\frac{1}{sinx}-\frac{1}{tgx})=\lim_{x \to 0}\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}=\frac{0}{1}=0$


irena
postów: 2639
2011-05-05 20:41:28

3.
$\frac{x tg2x}{sin^25x}=\frac{x\cdot\frac{sin2x}{cos2x}}{1-cos^25x}=\frac{x sin2x}{cos2x (1-cos^25x)}$

$cos^25x=\frac{1-cos10x}{2}$
$1-cos^25x=1-\frac{1-cos10x}{2}=\frac{2-1+cos10x}{2}=\frac{1+cos10x}{2}$

$\lim_{x \to 0}\frac{x tg2x}{sin^25x}=\lim_{x \to 0}\frac{x sin2x}{cos2x \cdot\frac{1+cos10x}{2}}=\frac{0}{1\cdot\frac{1+1}{2}}=0$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 17 drukuj