logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Topologia, zadanie nr 1250

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

pppsss
postów: 23
2013-04-09 15:39:51

1) Uzasadnić, że w przestrzeni dyskretnej dla dowolnego zbioru A mamy
cl A = A, int A = A.

2) Niech
$A_{1}$ = (1,2)$\times${0}, $A_{2}$ = (-1,1)$\times${0}, $A_{3}$ = (-1,1)$\times$(0,1), $A_{4}$ = (-1,1)$\times$$[0,1]$.
Zbadać otwartość (domkniętość) zbiorów $A_{i}$, gdy w $R^{2}$ jest metryka euklidesowa (dyskretna, ,,rzeka"). Wyznaczyć domknięcia i wnętrza wymienionych zbiorów w wybranych metrykach

3) Dla A$\subset$X definiujemy FrA:=clA$\cap$cl(X\A). Pokazać, że
FrA = clA\intA.


tumor
postów: 8085
2013-04-09 16:56:56

1.
A jak zdefiniowano dyskretną?
Jeśli przez topologię, to znaczy $\tau=P(X)$, to mamy rzecz oczywistą, każdy zbiór jest otwarty.

W konsekwencji:
weźmy $B\subset X$. Skoro $X\backslash B$ jest otwarty, to $B$ jest domknięty, zatem i każdy zbiór jest domknięty. Czyli
$clA=A$ i $int A=A$.

Jeśli przez metrykę dyskretną, to można rozumować tak:
Dla każdego $x\in X$ kula $K(x,\rho)=\{x\}$ jest oczywiście otwarta.
Skoro każdy zbiór jednoelementowy jest otwarty to i każdy zbiór w ogóle jest otwarty jako suma zbiorów otwartych.
To, że każdy zbiór jest domknięty, argumentujemy jak wcześniej.


tumor
postów: 8085
2013-04-09 17:03:11

3.
Wcześniej wypada udowodnić, że
$X\backslash cl (X\backslash A)=int A$
czyli
$cl(X\backslash A)=X\backslash int A$
co chyba gdzieś na zajęciach robiliście (jeśli nie i nie umiesz, to zgłoś się do mnie :P)

Wtedy
$FrA=clA \cap cl(X\backslash A)=clA \backslash (X\backslash cl(X\backslash A))= cl A \backslash int A$


mate_matykaa
postów: 117
2016-05-29 15:04:31

Ktoś pomoże zrobić zad 2 ? :D


tumor
postów: 8085
2016-05-29 18:44:31

A czemu piszesz "ktoś pomoże"? Czekasz, aż ktoś zrobi, nie pomoże.

2.
euklidesowa
$int A_1=\emptyset$
$int A_2=...$
$int A_3=...$
$int A_4=(-1,1)\times (0,1)$
$cl A_1=[1,2]\times \{0\}$
$cl A_2=...$
$cl A_3=...$
$cl A_4=[-1,1]\times [0,1]$
oczywiście otwarte są te zbiory, które są równe swojemu wnętrzu, a domknięte te, które są równe domknięciu.

Jak robiłem euklidesową? Zrobiłem sobie dowód w głowie faktu, że prostokąt o bokach równoległych do osi, pozbawiony brzegu (czyli iloczyn kartezjański przedziałów otwartych) jest w euklidesowej otwarty. Na bazie tego stwierdzenia da się uzasadnić, że domknięcia czy wnętrza będą takie, jak napisałem.
A reszta?

-----

dyskretna
zadanie na naprawdę niskim poziomie. Jeśli była definicja topologii/metryki dyskretnej, to rozwiązanie nie powinno nastręczać trudności żadnemu czterolatkowi, który tę definicję zna.

-----

rzeka
polecam się zastanowić, jak w metryce rzeki wygląda kula $K(x_0,r)$ gdy
$x_0=(0,0), (0,b),(a,0)$ lub $(a,b)$ oraz gdy $r=b, r<b, r>b$.
dla przykładu, powiem, $K((0,0),r)$ to kwadrat pozbawiony brzegu, o przekątnych równoległych do osi, gdy r jest połową długości przekątnej tego kwadratu, (0,0) punktem przecięcia przekątnych.

Zbiór w sensie metryki będzie otwarty, gdy wraz z każdym punktem zawiera pewną kulę otwartą o środku w tym punkcie. Wobec tego $A_3$ jest otwarty, $A_4$ nie (weźmy kulę otwartą o środku $(0,1)$).
Domkniętość chyba łatwiej sprawdza się sprawdzając, czy dopełnienia są otwarte. $X\backslash A_1$ nie jest otwarty
(weźmy kulę otwartą o środku w $(2,0)$)

Sprawdzając te własności zastanów się nad tym, jak można je sprowadzić do pojęć "kwadrat, prostokąt, z brzegiem, bez brzegu" (przy tym "brzeg" tu rozumiemy geometrycznie, jak w liceum, dla metryki euklidesowej wielokąt pozbawiony brzegu w sensie geometrii licealnej jest też otwarty, czyli rozłączny ze swoim brzegiem w sensie topologicznym.)




strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 22 drukuj