Topologia, zadanie nr 1250
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
pppsss post贸w: 23 |  2013-04-09 15:39:511) Uzasadni膰, 偶e w przestrzeni dyskretnej dla dowolnego zbioru A mamy cl A = A, int A = A. 2) Niech $A_{1}$ = (1,2)$\times${0}, $A_{2}$ = (-1,1)$\times${0}, $A_{3}$ = (-1,1)$\times$(0,1), $A_{4}$ = (-1,1)$\times$$[0,1]$. Zbada膰 otwarto艣膰 (domkni臋to艣膰) zbior贸w $A_{i}$, gdy w $R^{2}$ jest metryka euklidesowa (dyskretna, ,,rzeka\"). Wyznaczy膰 domkni臋cia i wn臋trza wymienionych zbior贸w w wybranych metrykach 3) Dla A$\subset$X definiujemy FrA:=clA$\cap$cl(X\A). Pokaza膰, 偶e FrA = clA\intA. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-04-09 16:56:56 1. A jak zdefiniowano dyskretn膮? Je艣li przez topologi臋, to znaczy $\tau=P(X)$, to mamy rzecz oczywist膮, ka偶dy zbi贸r jest otwarty. W konsekwencji: we藕my $B\subset X$. Skoro $X\backslash B$ jest otwarty, to $B$ jest domkni臋ty, zatem i ka偶dy zbi贸r jest domkni臋ty. Czyli $clA=A$ i $int A=A$. Je艣li przez metryk臋 dyskretn膮, to mo偶na rozumowa膰 tak: Dla ka偶dego $x\in X$ kula $K(x,\rho)=\{x\}$ jest oczywi艣cie otwarta. Skoro ka偶dy zbi贸r jednoelementowy jest otwarty to i ka偶dy zbi贸r w og贸le jest otwarty jako suma zbior贸w otwartych. To, 偶e ka偶dy zbi贸r jest domkni臋ty, argumentujemy jak wcze艣niej. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-04-09 17:03:11 3. Wcze艣niej wypada udowodni膰, 偶e $X\backslash cl (X\backslash A)=int A$ czyli $cl(X\backslash A)=X\backslash int A$ co chyba gdzie艣 na zaj臋ciach robili艣cie (je艣li nie i nie umiesz, to zg艂o艣 si臋 do mnie :P) Wtedy $FrA=clA \cap cl(X\backslash A)=clA \backslash (X\backslash cl(X\backslash A))= cl A \backslash int A$ |
mate_matykaa post贸w: 117 | 2016-05-29 15:04:31 Kto艣 pomo偶e zrobi膰 zad 2 ? :D |
tumor post贸w: 8070 | 2016-05-29 18:44:31 A czemu piszesz \"kto艣 pomo偶e\"? Czekasz, a偶 kto艣 zrobi, nie pomo偶e. 2. euklidesowa $int A_1=\emptyset$ $int A_2=...$ $int A_3=...$ $int A_4=(-1,1)\times (0,1)$ $cl A_1=[1,2]\times \{0\}$ $cl A_2=...$ $cl A_3=...$ $cl A_4=[-1,1]\times [0,1]$ oczywi艣cie otwarte s膮 te zbiory, kt贸re s膮 r贸wne swojemu wn臋trzu, a domkni臋te te, kt贸re s膮 r贸wne domkni臋ciu. Jak robi艂em euklidesow膮? Zrobi艂em sobie dow贸d w g艂owie faktu, 偶e prostok膮t o bokach r贸wnoleg艂ych do osi, pozbawiony brzegu (czyli iloczyn kartezja艅ski przedzia艂贸w otwartych) jest w euklidesowej otwarty. Na bazie tego stwierdzenia da si臋 uzasadni膰, 偶e domkni臋cia czy wn臋trza b臋d膮 takie, jak napisa艂em. A reszta? ----- dyskretna zadanie na naprawd臋 niskim poziomie. Je艣li by艂a definicja topologii/metryki dyskretnej, to rozwi膮zanie nie powinno nastr臋cza膰 trudno艣ci 偶adnemu czterolatkowi, kt贸ry t臋 definicj臋 zna. ----- rzeka polecam si臋 zastanowi膰, jak w metryce rzeki wygl膮da kula $K(x_0,r)$ gdy $x_0=(0,0), (0,b),(a,0)$ lub $(a,b)$ oraz gdy $r=b, r<b, r>b$. dla przyk艂adu, powiem, $K((0,0),r)$ to kwadrat pozbawiony brzegu, o przek膮tnych r贸wnoleg艂ych do osi, gdy r jest po艂ow膮 d艂ugo艣ci przek膮tnej tego kwadratu, (0,0) punktem przeci臋cia przek膮tnych. Zbi贸r w sensie metryki b臋dzie otwarty, gdy wraz z ka偶dym punktem zawiera pewn膮 kul臋 otwart膮 o 艣rodku w tym punkcie. Wobec tego $A_3$ jest otwarty, $A_4$ nie (we藕my kul臋 otwart膮 o 艣rodku $(0,1)$). Domkni臋to艣膰 chyba 艂atwiej sprawdza si臋 sprawdzaj膮c, czy dope艂nienia s膮 otwarte. $X\backslash A_1$ nie jest otwarty (we藕my kul臋 otwart膮 o 艣rodku w $(2,0)$) Sprawdzaj膮c te w艂asno艣ci zastan贸w si臋 nad tym, jak mo偶na je sprowadzi膰 do poj臋膰 \"kwadrat, prostok膮t, z brzegiem, bez brzegu\" (przy tym \"brzeg\" tu rozumiemy geometrycznie, jak w liceum, dla metryki euklidesowej wielok膮t pozbawiony brzegu w sensie geometrii licealnej jest te偶 otwarty, czyli roz艂膮czny ze swoim brzegiem w sensie topologicznym.) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj