Topologia, zadanie nr 1250

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
pppsss postów: 23	2013-04-09 15:39:51 1) Uzasadnić, że w przestrzeni dyskretnej dla dowolnego zbioru A mamy cl A = A, int A = A. 2) Niech $A_{1}$ = (1,2)$\times${0}, $A_{2}$ = (-1,1)$\times${0}, $A_{3}$ = (-1,1)$\times$(0,1), $A_{4}$ = (-1,1)$\times$$[0,1]$. Zbadać otwartość (domkniętość) zbiorów $A_{i}$, gdy w $R^{2}$ jest metryka euklidesowa (dyskretna, ,,rzeka"). Wyznaczyć domknięcia i wnętrza wymienionych zbiorów w wybranych metrykach 3) Dla A$\subset$X definiujemy FrA:=clA$\cap$cl(X\A). Pokazać, że FrA = clA\intA.

tumor postów: 8070	2013-04-09 16:56:56 1. A jak zdefiniowano dyskretną? Jeśli przez topologię, to znaczy $\tau=P(X)$, to mamy rzecz oczywistą, każdy zbiór jest otwarty. W konsekwencji: weźmy $B\subset X$. Skoro $X\backslash B$ jest otwarty, to $B$ jest domknięty, zatem i każdy zbiór jest domknięty. Czyli $clA=A$ i $int A=A$. Jeśli przez metrykę dyskretną, to można rozumować tak: Dla każdego $x\in X$ kula $K(x,\rho)=\{x\}$ jest oczywiście otwarta. Skoro każdy zbiór jednoelementowy jest otwarty to i każdy zbiór w ogóle jest otwarty jako suma zbiorów otwartych. To, że każdy zbiór jest domknięty, argumentujemy jak wcześniej.

tumor postów: 8070	2013-04-09 17:03:11 3. Wcześniej wypada udowodnić, że $X\backslash cl (X\backslash A)=int A$ czyli $cl(X\backslash A)=X\backslash int A$ co chyba gdzieś na zajęciach robiliście (jeśli nie i nie umiesz, to zgłoś się do mnie :P) Wtedy $FrA=clA \cap cl(X\backslash A)=clA \backslash (X\backslash cl(X\backslash A))= cl A \backslash int A$

mate_matykaa postów: 117	2016-05-29 15:04:31 Ktoś pomoże zrobić zad 2 ? :D

tumor postów: 8070	2016-05-29 18:44:31 A czemu piszesz "ktoś pomoże"? Czekasz, aż ktoś zrobi, nie pomoże. 2. euklidesowa $int A_1=\emptyset$ $int A_2=...$ $int A_3=...$ $int A_4=(-1,1)\times (0,1)$ $cl A_1=[1,2]\times \{0\}$ $cl A_2=...$ $cl A_3=...$ $cl A_4=[-1,1]\times [0,1]$ oczywiście otwarte są te zbiory, które są równe swojemu wnętrzu, a domknięte te, które są równe domknięciu. Jak robiłem euklidesową? Zrobiłem sobie dowód w głowie faktu, że prostokąt o bokach równoległych do osi, pozbawiony brzegu (czyli iloczyn kartezjański przedziałów otwartych) jest w euklidesowej otwarty. Na bazie tego stwierdzenia da się uzasadnić, że domknięcia czy wnętrza będą takie, jak napisałem. A reszta? ----- dyskretna zadanie na naprawdę niskim poziomie. Jeśli była definicja topologii/metryki dyskretnej, to rozwiązanie nie powinno nastręczać trudności żadnemu czterolatkowi, który tę definicję zna. ----- rzeka polecam się zastanowić, jak w metryce rzeki wygląda kula $K(x_0,r)$ gdy $x_0=(0,0), (0,b),(a,0)$ lub $(a,b)$ oraz gdy $r=b, r<b, r>b$. dla przykładu, powiem, $K((0,0),r)$ to kwadrat pozbawiony brzegu, o przekątnych równoległych do osi, gdy r jest połową długości przekątnej tego kwadratu, (0,0) punktem przecięcia przekątnych. Zbiór w sensie metryki będzie otwarty, gdy wraz z każdym punktem zawiera pewną kulę otwartą o środku w tym punkcie. Wobec tego $A_3$ jest otwarty, $A_4$ nie (weźmy kulę otwartą o środku $(0,1)$). Domkniętość chyba łatwiej sprawdza się sprawdzając, czy dopełnienia są otwarte. $X\backslash A_1$ nie jest otwarty (weźmy kulę otwartą o środku w $(2,0)$) Sprawdzając te własności zastanów się nad tym, jak można je sprowadzić do pojęć "kwadrat, prostokąt, z brzegiem, bez brzegu" (przy tym "brzeg" tu rozumiemy geometrycznie, jak w liceum, dla metryki euklidesowej wielokąt pozbawiony brzegu w sensie geometrii licealnej jest też otwarty, czyli rozłączny ze swoim brzegiem w sensie topologicznym.)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj