Topologia, zadanie nr 1251

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
popopo postów: 5	2013-04-09 15:53:55 1. Wykazać, że A jest zbiorem brzegowym (tzn. int A = $\emptyset$) wtedy i tylko wtedy, gdy A$\subset$FrA. 2) Uzasadnić, że w dowolnej przestrzeni metrycznej pochodna każdego zbioru jednoelementowego (więc i skończonego) jest zbiorem pustym. 3) Czy operacja brzegu (Fr) jest operacją monotoniczną ?

tumor postów: 8070	2013-04-09 21:11:12 3. Nie. Monotoniczna oznacza, że $A\subset B $dałoby w konsekwencji $FrA\subset FrB$ co jest nieprawdą na przykład dla $A=(1,2)$ $B=(1,\infty)$

tumor postów: 8070	2013-04-09 21:23:00 2. Pochodna zbioru to zbiór punktów skupienia tego zbioru. W zbiorze $A= \{x\}$ nie ma punktów skupienia. Przypomnijmy definicję, $x_0\in A$ jest punktem skupienia zbioru $A$, jeśli dla każdego zbioru otwartego $U$ zachodzi implikacja $x_0\in U \Rightarrow U \cap (A\backslash \{x_0\})\neq \emptyset$ W przypadku $A= \{x\}$ mamy $x\in K(x,\epsilon)$ dla dowolnego $\epsilon>0$ oraz $K(x,\epsilon) \cap (A\backslash \{x\})= \emptyset.$ Przypuśćmy, że zbiór B jest skończony. Niech $\epsilon = min(\varrho(y,z):y\in B, z\in B, y\neq z)$. Wtedy rozpatrując kule otwarte $K(y,\epsilon)$ dla $y\in B$ dostaniemy, że żaden y nie jest punktem skupienia zbioru B.

tumor postów: 8070	2013-04-11 09:40:38 1. Jeśli $int A=\emptyset$, to $A\subset clA= clA\backslash int A=FrA$. Jeśli $int A\neq \emptyset$, to niech $x\in int A$. Wtedy $x\in A$ oraz $x\notin (clA \backslash int A)=FrA$, czyli nieprawda, że $A\subset FrA$

mate_matykaa postów: 117	2016-04-06 20:44:36 mógłbys mi wyjaśnić dlaczego zapisałeś tam oraz x$\notin$(clA\intA) ??

tumor postów: 8070	2016-04-06 20:57:02 Oczywiście. Jeśli jakiś element $a$ należy do jakiegoś zbioru $X$, to nie należy do różnicy $Y\backslash X$. Bo z takiej różnicy wyrzucamy wszystkie elementy zbioru $X$, łącznie z elementem $a$.

mate_matykaa postów: 117	2016-04-06 21:03:13 aha, czyli można by było za ten zbiór X wstawić int A, za Y clA, i wtedy wychodzi, że x należy do intA, ale intA zawiera się w A, więc można wpisać, że x należy do A oraz nie należy do tej róznicy, czyli clA\intA ? o to chodziło?? :D

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj