Topologia, zadanie nr 1253
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
55555 post贸w: 60 |  2013-04-10 12:41:341) Wykaza膰, 偶e w przestrzeni metrycznej zbi贸r A jest domkni臋ty wtedy i tylko wtedy, gdy spe艂niony jest warunek $\forall_({x_{n)}\subset}A$ $\forall_{x\in}X$ ($x_{n}$$\rightarrow$x$\Rightarrow$x$\in$A) 2) Czy suma (iloczyn, r贸偶nica) dw贸ch zbior贸w g臋stych (brzegowych, nigdzieg臋stych, pierwszej kategorii, drugiej kategorii, w sobie g臋stych) musi by膰 zbiorem g臋stym (brzegowym, nigdzieg臋stym, pierwszej kategorii, drugiej kategorii, w sobie g臋stym) ? |
tumor post贸w: 8070 | 2013-04-11 08:10:44 1. Zbi贸r otwarty to suma kul otwartych, zbi贸r domkni臋ty to dope艂nienie otwartego. Niech A b臋dzie zbiorem i przypu艣膰my, 偶e istnieje ci膮g $(x_n)\subset A$, $x_n\rightarrow x$ oraz $x\notin A$. Skoro $x_n\rightarrow x$ to dla ka偶dego $\epsilon>0$ istnieje $n$ t.偶e $x_n\in K(x,\epsilon)$. Zatem $x\in X\backslash A$ i nie istnieje kula otwarta $K$ o 艣rodku w $x$ zawieraj膮ca si臋 w ca艂o艣ci w $X\backslash A$. Czyli $X \backslash A$ nie jest otwarty, czyli $A$ nie jest domkni臋ty. W drug膮 stron臋. We藕my $A$, kt贸ry nie jest domkni臋ty. Oczywi艣cie $A\subset cl A$, zatem istnieje $x\in clA \backslash A$. Rozwa偶my ci膮g kul $K(x,\frac{1}{n})$. Oczywi艣cie dla ka偶dego $n$ mamy $K(x,\frac{1}{n})\cap A\neq \emptyset$ (gdyby si臋 da艂o otoczy膰 $x$ kul膮 roz艂膮czn膮 z $A$, to $x$ nie nale偶a艂by do $cl A$). Zatem mo偶emy wybra膰 ci膮g $(x_n)\subset A$ zbie偶ny do $x$. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-04-11 09:02:44 2) No, to jest 3*6 zada艅! Miej偶e troch臋 lito艣ci. To mo偶e jakie艣 definicje. Zbi贸r $A$ jest g臋sty, je艣li $clA=X$ Zbi贸r $B$ jest brzegowy, je艣li $int B=\emptyset$ Zbi贸r $C$ jest nigdzieg臋sty, je艣li $int cl C=\emptyset$ Zbi贸r $D$ jest pierwszej kategorii, gdy jest przeliczaln膮 sum膮 zbior贸w nigdzieg臋stych. Zbi贸r $E$ jest drugiej kategorii, je艣li nie jest pierwszej kategorii Zbi贸r $F$ jest w sobie g臋sty to taki, kt贸ry nie ma punkt贸w izolowanych (wszystkie punkty F s膮 jego punktami skupienia). We藕my teraz $A\subset B$. Zauwa偶amy, 偶e wtedy Je艣li $B$ brzegowy, to $A$ brzegowy (co wynika z monotoniczno艣ci operacji wn臋trza). Je艣li $B$ nigdzieg臋sty, to $A$ nigdzieg臋sty (monotoniczno艣膰 wn臋trza i domkni臋cia). Je艣li $B$ jest pierwszej kategorii, to $A$ pierwszej kategorii. Oraz: Je艣li $A$ jest g臋sty, to $B$ jest g臋sty. Je艣li $A$ jest drugiej kategorii, to $B$ jest drugiej kategorii. Czyli iloczyn/r贸偶nica zbior贸w brzegowych/nigdzieg臋stych/pierwszej kategorii jest zbiorem brzegowym/nigdzieg臋stym/pierwszej kategorii, a suma zbior贸w g臋stych/drugiej kategorii jest zbiorem g臋stym/drugiej kategorii. Suma zbior贸w brzegowych nie musi by膰 zbiorem brzegowym (na przyk艂ad $R\backslash Q$ i $Q$ s膮 brzegowe). Suma zbior贸w nigdzieg臋stych jest zbiorem nigdzieg臋stym. Tu si臋 przyda uzasadnienie. ------- Je艣li $A$ jest nigdzieg臋sty, czyli $int cl A=\emptyset$, i we藕miemy dowolny niepusty otwarty $U$, to po pierwsze $U$ nie zawiera si臋 w $clA$ (bo wtedy $intclA$ by艂oby niepuste). Po drugie, skoro $clA$ domkni臋ty, to $X\backslash clA$ otwarty, czyli $V=U\cap (X\backslash clA)$ otwarty, niepusty i $V\subset U$. Z tego wynika, 偶e dla ka偶dego zbioru $U$ otwartego niepustego istnieje otwarty niepusty $V\subset U$, 偶e $V\cap A=\emptyset$. W drug膮 stron臋, gdy zachodzi warunek, 偶e dla ka偶dego niepustego otwartego $U$ istnieje niepusty otwarty $V\subset U$ roz艂膮czny z A, to tak偶e $V$ roz艂膮czny z $clA$. Czyli $intclA=\emptyset$, bo gdyby $intclA$ nie by艂 pusty (a jest otwarty), to musia艂by mie膰 podzbi贸r niepusty roz艂膮czny z $clA$, co daje sprzeczno艣膰. Czyli powy偶szy warunek jest r贸wnowa偶ny nigdzieg臋sto艣ci. ----- We藕my $A$ i $B$ nigdzieg臋ste i dowolny niepusty otwarty $U$. Wtedy istnieje $V_1\subset U$ niepusty otwarty roz艂膮czny z $A$. Skoro $V_1 $ jest otwarty niepusty i $B$ jest nigdzieg臋sty, to istnieje $V_2\subset V_1$ otwarty niepusty i roz艂膮czny z $B$, czyli roz艂膮czny z $A\cup B$, co z dowolno艣ci $U$ daje, 偶e $A\cup B$ jest nigdzieg臋sty. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-04-11 09:28:02 Suma zbior贸w pierwszej kategorii jest zbiorem pierwszej kategorii. Bowiem je艣li $A$ jest sum膮 przeliczalnie wielu $A_n$ nigdzieg臋stych, $B$ jest sum膮 przeliczalnie wielu $B_n$ nigdzieg臋stych, to i $A\cup B$ jest sum膮 przeliczalnie wielu zbior贸w nigdzieg臋stych (wszystkich $A_n$ i $B_n$ jest przeliczalnie wiele). Suma zbior贸w w sobie g臋stych jest zbiorem w sobie g臋stym. Je艣li bowiem $x$ jest granic膮 ci膮gu element贸w z $A\backslash \{x\}$, to tak偶e jest granic膮 ci膮gu element贸w z $(A\cup B)\backslash \{x\}$. Przekr贸j zbior贸w g臋stych nie musi by膰 g臋sty ($Q$ i $R\backslash Q$ maj膮 pusty przekr贸j). R贸偶nica zbior贸w g臋stych nie musi by膰 g臋sta (do艣膰 oczywiste $Q$ i $Q$). Przekr贸j zbior贸w drugiej kategorii nie musi by膰 drugiej kategorii (mog膮, jak wy偶ej, by膰 roz艂膮czne). R贸偶nica zbior贸w drugiej kategorii nie musi by膰 drugiej kategorii (mog膮, jak wy偶ej, by膰 identyczne). Przekr贸j zbior贸w w sobie g臋stych mo偶e nie by膰 w sobie g臋sty, np $[1,2]$ i $[2,3]$. R贸偶nica zbior贸w w sobie g臋stych mo偶e nie by膰 zbiorem w sobie g臋stym, np $[1,2]$ i $(1,2)$. Nie chce mi si臋 sprawdza膰, czy co艣 pomin膮艂em. :) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj