Topologia, zadanie nr 1253

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
55555 postów: 60	2013-04-10 12:41:34 1) Wykazać, że w przestrzeni metrycznej zbiór A jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek $\forall_({x_{n)}\subset}A$ $\forall_{x\in}X$ ($x_{n}$$\rightarrow$x$\Rightarrow$x$\in$A) 2) Czy suma (iloczyn, różnica) dwóch zbiorów gęstych (brzegowych, nigdziegęstych, pierwszej kategorii, drugiej kategorii, w sobie gęstych) musi być zbiorem gęstym (brzegowym, nigdziegęstym, pierwszej kategorii, drugiej kategorii, w sobie gęstym) ?

tumor postów: 8070	2013-04-11 08:10:44 1. Zbiór otwarty to suma kul otwartych, zbiór domknięty to dopełnienie otwartego. Niech A będzie zbiorem i przypuśćmy, że istnieje ciąg $(x_n)\subset A$, $x_n\rightarrow x$ oraz $x\notin A$. Skoro $x_n\rightarrow x$ to dla każdego $\epsilon>0$ istnieje $n$ t.że $x_n\in K(x,\epsilon)$. Zatem $x\in X\backslash A$ i nie istnieje kula otwarta $K$ o środku w $x$ zawierająca się w całości w $X\backslash A$. Czyli $X \backslash A$ nie jest otwarty, czyli $A$ nie jest domknięty. W drugą stronę. Weźmy $A$, który nie jest domknięty. Oczywiście $A\subset cl A$, zatem istnieje $x\in clA \backslash A$. Rozważmy ciąg kul $K(x,\frac{1}{n})$. Oczywiście dla każdego $n$ mamy $K(x,\frac{1}{n})\cap A\neq \emptyset$ (gdyby się dało otoczyć $x$ kulą rozłączną z $A$, to $x$ nie należałby do $cl A$). Zatem możemy wybrać ciąg $(x_n)\subset A$ zbieżny do $x$.

tumor postów: 8070	2013-04-11 09:02:44 2) No, to jest 3*6 zadań! Miejże trochę litości. To może jakieś definicje. Zbiór $A$ jest gęsty, jeśli $clA=X$ Zbiór $B$ jest brzegowy, jeśli $int B=\emptyset$ Zbiór $C$ jest nigdziegęsty, jeśli $int cl C=\emptyset$ Zbiór $D$ jest pierwszej kategorii, gdy jest przeliczalną sumą zbiorów nigdziegęstych. Zbiór $E$ jest drugiej kategorii, jeśli nie jest pierwszej kategorii Zbiór $F$ jest w sobie gęsty to taki, który nie ma punktów izolowanych (wszystkie punkty F są jego punktami skupienia). Weźmy teraz $A\subset B$. Zauważamy, że wtedy Jeśli $B$ brzegowy, to $A$ brzegowy (co wynika z monotoniczności operacji wnętrza). Jeśli $B$ nigdziegęsty, to $A$ nigdziegęsty (monotoniczność wnętrza i domknięcia). Jeśli $B$ jest pierwszej kategorii, to $A$ pierwszej kategorii. Oraz: Jeśli $A$ jest gęsty, to $B$ jest gęsty. Jeśli $A$ jest drugiej kategorii, to $B$ jest drugiej kategorii. Czyli iloczyn/różnica zbiorów brzegowych/nigdziegęstych/pierwszej kategorii jest zbiorem brzegowym/nigdziegęstym/pierwszej kategorii, a suma zbiorów gęstych/drugiej kategorii jest zbiorem gęstym/drugiej kategorii. Suma zbiorów brzegowych nie musi być zbiorem brzegowym (na przykład $R\backslash Q$ i $Q$ są brzegowe). Suma zbiorów nigdziegęstych jest zbiorem nigdziegęstym. Tu się przyda uzasadnienie. ------- Jeśli $A$ jest nigdziegęsty, czyli $int cl A=\emptyset$, i weźmiemy dowolny niepusty otwarty $U$, to po pierwsze $U$ nie zawiera się w $clA$ (bo wtedy $intclA$ byłoby niepuste). Po drugie, skoro $clA$ domknięty, to $X\backslash clA$ otwarty, czyli $V=U\cap (X\backslash clA)$ otwarty, niepusty i $V\subset U$. Z tego wynika, że dla każdego zbioru $U$ otwartego niepustego istnieje otwarty niepusty $V\subset U$, że $V\cap A=\emptyset$. W drugą stronę, gdy zachodzi warunek, że dla każdego niepustego otwartego $U$ istnieje niepusty otwarty $V\subset U$ rozłączny z A, to także $V$ rozłączny z $clA$. Czyli $intclA=\emptyset$, bo gdyby $intclA$ nie był pusty (a jest otwarty), to musiałby mieć podzbiór niepusty rozłączny z $clA$, co daje sprzeczność. Czyli powyższy warunek jest równoważny nigdziegęstości. ----- Weźmy $A$ i $B$ nigdziegęste i dowolny niepusty otwarty $U$. Wtedy istnieje $V_1\subset U$ niepusty otwarty rozłączny z $A$. Skoro $V_1 $ jest otwarty niepusty i $B$ jest nigdziegęsty, to istnieje $V_2\subset V_1$ otwarty niepusty i rozłączny z $B$, czyli rozłączny z $A\cup B$, co z dowolności $U$ daje, że $A\cup B$ jest nigdziegęsty.

tumor postów: 8070	2013-04-11 09:28:02 Suma zbiorów pierwszej kategorii jest zbiorem pierwszej kategorii. Bowiem jeśli $A$ jest sumą przeliczalnie wielu $A_n$ nigdziegęstych, $B$ jest sumą przeliczalnie wielu $B_n$ nigdziegęstych, to i $A\cup B$ jest sumą przeliczalnie wielu zbiorów nigdziegęstych (wszystkich $A_n$ i $B_n$ jest przeliczalnie wiele). Suma zbiorów w sobie gęstych jest zbiorem w sobie gęstym. Jeśli bowiem $x$ jest granicą ciągu elementów z $A\backslash \{x\}$, to także jest granicą ciągu elementów z $(A\cup B)\backslash \{x\}$. Przekrój zbiorów gęstych nie musi być gęsty ($Q$ i $R\backslash Q$ mają pusty przekrój). Różnica zbiorów gęstych nie musi być gęsta (dość oczywiste $Q$ i $Q$). Przekrój zbiorów drugiej kategorii nie musi być drugiej kategorii (mogą, jak wyżej, być rozłączne). Różnica zbiorów drugiej kategorii nie musi być drugiej kategorii (mogą, jak wyżej, być identyczne). Przekrój zbiorów w sobie gęstych może nie być w sobie gęsty, np $[1,2]$ i $[2,3]$. Różnica zbiorów w sobie gęstych może nie być zbiorem w sobie gęstym, np $[1,2]$ i $(1,2)$. Nie chce mi się sprawdzać, czy coś pominąłem. :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj