Topologia, zadanie nr 1256
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
caulifloower post贸w: 1 |  2013-04-11 17:53:07Zbada膰 jak wygl膮daj膮 wn臋trza prostych na p艂aszczy藕nie z metryk膮: (a) rzeki (b) w臋z艂a kolejowego z g贸ry dzi臋ki za pomoc |
tumor post贸w: 8070 | 2013-04-16 08:29:53 Og贸lnie wn臋trza prostych to tyle, co sumy kul otwartych zawartych w prostych, musimy zatem wzi膮膰 sobie prost膮 i przemy艣le膰, jakie to kule otwarte przy danej metryce si臋 w niej zawieraj膮. a) Prosta $L:y=0$ jest nasz膮 rzek膮. We藕my $p=(x,0)\in L$ i $\epsilon>0$. Wtedy $p_1=(x,\frac{\epsilon}{2}) \notin L$Czyli ka偶da kula otwarta zawieraj膮ca p (w szczeg贸lno艣ci ta o 艣rodku w p) \"wystaje\" poza prost膮 $L$. $int L=\emptyset$ Analogiczne rozumowanie dotyczy ka偶dej prostej poziomej i ka偶dej prostej uko艣nej. Bierzemy punkt z tej prostej, kul臋 o dowolnie ma艂ym promieniu i pokazujemy, 偶e ta kula i tak nie zawiera si臋 w prostej. Pozosta艂y nam proste pionowe. Ustalmy dowolnie $x_0$. Niech $p=(x_1,y_1)\in M:x=x_0$,(czyli $x_0=x_1)$, niech $y_1\neq 0$ oraz $\epsilon <|y_1|$. Wtedy $K(p,\epsilon)\subset M$. Niech teraz $y_1=0$. Wtedy dla ka偶dego $\epsilon>0$ dostajemy, 偶e $(x_0+\frac{\epsilon}{2},0)\notin M$, czyli punkt $(x_0,0)$ nie nale偶y do wn臋trza $M$. $int M=M\backslash OX$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-04-16 08:37:52 b) rozumowania i wyniki analogiczne do powy偶szych. Je艣li prosta $L$ nie przechodzi przez $(0,0)$, to bierzemy dowolny punkt na tej prostej, dowolny $\epsilon>0$ i pokazujemy, 偶e kula otwarta o 艣rodku w tym punkcie i promieniu $\epsilon$ nie zawiera si臋 w prostej. Takie proste maj膮 wn臋trze puste. Je艣li prosta $M$ przechodzi przez $(0,0)$, to bierzemy punkt $p\neq (0,0)$ nale偶膮cy do tej prostej, kula o 艣rodku w $p$ i promieniu $\epsilon<\varrho(p,(0,0))$ (gdzie $\varrho $ jest metryk膮 euklidesow膮) zawiera si臋 w $M$. Je艣li jednak $p=(0,0)$ to zn贸w dla ka偶dego dodatniego $\epsilon$ kula o 艣rodku $p$ i promieniu $\epsilon$ \"wystaje\" poza $M$. Czyli $int M=M\backslash \{(0,0)\}$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj