logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Topologia, zadanie nr 1256

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

caulifloower
postów: 1
2013-04-11 17:53:07

Zbadać jak wyglądają wnętrza prostych na płaszczyźnie z metryką:
(a) rzeki
(b) węzła kolejowego

z góry dzięki za pomoc


tumor
postów: 8070
2013-04-16 08:29:53

Ogólnie wnętrza prostych to tyle, co sumy kul otwartych zawartych w prostych, musimy zatem wziąć sobie prostą i przemyśleć, jakie to kule otwarte przy danej metryce się w niej zawierają.

a)
Prosta $L:y=0$ jest naszą rzeką.
Weźmy $p=(x,0)\in L$ i $\epsilon>0$. Wtedy $p_1=(x,\frac{\epsilon}{2}) \notin L$Czyli każda kula otwarta zawierająca p (w szczególności ta o środku w p) "wystaje" poza prostą $L$.
$int L=\emptyset$

Analogiczne rozumowanie dotyczy każdej prostej poziomej i każdej prostej ukośnej. Bierzemy punkt z tej prostej, kulę o dowolnie małym promieniu i pokazujemy, że ta kula i tak nie zawiera się w prostej.

Pozostały nam proste pionowe. Ustalmy dowolnie $x_0$.
Niech $p=(x_1,y_1)\in M:x=x_0$,(czyli $x_0=x_1)$, niech $y_1\neq 0$ oraz $\epsilon <|y_1|$.
Wtedy $K(p,\epsilon)\subset M$.
Niech teraz $y_1=0$. Wtedy dla każdego $\epsilon>0$ dostajemy, że
$(x_0+\frac{\epsilon}{2},0)\notin M$, czyli punkt $(x_0,0)$ nie należy do wnętrza $M$.

$int M=M\backslash OX$


tumor
postów: 8070
2013-04-16 08:37:52

b) rozumowania i wyniki analogiczne do powyższych.

Jeśli prosta $L$ nie przechodzi przez $(0,0)$, to bierzemy dowolny punkt na tej prostej, dowolny $\epsilon>0$ i pokazujemy, że kula otwarta o środku w tym punkcie i promieniu $\epsilon$ nie zawiera się w prostej. Takie proste mają wnętrze puste.

Jeśli prosta $M$ przechodzi przez $(0,0)$, to bierzemy punkt $p\neq (0,0)$ należący do tej prostej, kula o środku w $p$ i promieniu $\epsilon<\varrho(p,(0,0))$ (gdzie $\varrho $ jest metryką euklidesową) zawiera się w $M$.
Jeśli jednak $p=(0,0)$ to znów dla każdego dodatniego $\epsilon$ kula o środku $p$ i promieniu $\epsilon$ "wystaje" poza $M$. Czyli
$int M=M\backslash \{(0,0)\}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj