Topologia, zadanie nr 1256
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
caulifloower postów: 1 | 2013-04-11 17:53:07 Zbadać jak wyglądają wnętrza prostych na płaszczyźnie z metryką: (a) rzeki (b) węzła kolejowego z góry dzięki za pomoc |
tumor postów: 8070 | 2013-04-16 08:29:53 Ogólnie wnętrza prostych to tyle, co sumy kul otwartych zawartych w prostych, musimy zatem wziąć sobie prostą i przemyśleć, jakie to kule otwarte przy danej metryce się w niej zawierają. a) Prosta $L:y=0$ jest naszą rzeką. Weźmy $p=(x,0)\in L$ i $\epsilon>0$. Wtedy $p_1=(x,\frac{\epsilon}{2}) \notin L$Czyli każda kula otwarta zawierająca p (w szczególności ta o środku w p) "wystaje" poza prostą $L$. $int L=\emptyset$ Analogiczne rozumowanie dotyczy każdej prostej poziomej i każdej prostej ukośnej. Bierzemy punkt z tej prostej, kulę o dowolnie małym promieniu i pokazujemy, że ta kula i tak nie zawiera się w prostej. Pozostały nam proste pionowe. Ustalmy dowolnie $x_0$. Niech $p=(x_1,y_1)\in M:x=x_0$,(czyli $x_0=x_1)$, niech $y_1\neq 0$ oraz $\epsilon <|y_1|$. Wtedy $K(p,\epsilon)\subset M$. Niech teraz $y_1=0$. Wtedy dla każdego $\epsilon>0$ dostajemy, że $(x_0+\frac{\epsilon}{2},0)\notin M$, czyli punkt $(x_0,0)$ nie należy do wnętrza $M$. $int M=M\backslash OX$ |
tumor postów: 8070 | 2013-04-16 08:37:52 b) rozumowania i wyniki analogiczne do powyższych. Jeśli prosta $L$ nie przechodzi przez $(0,0)$, to bierzemy dowolny punkt na tej prostej, dowolny $\epsilon>0$ i pokazujemy, że kula otwarta o środku w tym punkcie i promieniu $\epsilon$ nie zawiera się w prostej. Takie proste mają wnętrze puste. Jeśli prosta $M$ przechodzi przez $(0,0)$, to bierzemy punkt $p\neq (0,0)$ należący do tej prostej, kula o środku w $p$ i promieniu $\epsilon<\varrho(p,(0,0))$ (gdzie $\varrho $ jest metryką euklidesową) zawiera się w $M$. Jeśli jednak $p=(0,0)$ to znów dla każdego dodatniego $\epsilon$ kula o środku $p$ i promieniu $\epsilon$ "wystaje" poza $M$. Czyli $int M=M\backslash \{(0,0)\}$ |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj